Minicursos

Os minicursos oferecidos nesta edição da Escola de Verão podem ser cursados por qualquer pessoa que tenha interesse em aprender os conteúdos ministrados. Para poder se matricular, caso você não seja aluno regular da UFSC, será necessário que você realize seu cadastro no Sistema de Cadastro e Controle de Pessoas da UFSC (SCCP) para que você possa ter acesso completo a página de matrícula. 

Após o termino da Escola de Verão, caso você possua pelo menos 75% de presença em um minicurso e/ou tenha participado de uma palestra, você terá direito a um certificado de participação. Os certificados dos minicursos e das palestras serão disponibilizados pelo Sistema de Certificados Autenticados da UFSC (SCA).

Resumo:  O GAP é um sistema de álgebra computacional livre, desenvolvido inicialmente entre 1986 e 1997 na Universidade Técnica de Aachen, Alemanha, e atualmente mantido por uma parceria internacional de centros de pesquisa. Seu foco principal é a álgebra discreta computacional, com ênfase especial na teoria computacional de grupos finitos. O GAP oferece uma linguagem de programação própria, uma vasta biblioteca de funções algébricas e bancos de dados de objetos matemáticos, permitindo a modelagem e manipulação eficiente de estruturas algébricas complexas. 

A relevância do GAP para a área da álgebra reside na sua capacidade de facilitar o estudo e a pesquisa em teoria dos grupos, álgebra linear, matrizes, álgebras e outras estruturas algébricas, automatizando cálculos que seriam impraticáveis manualmente. Além disso, o GAP é amplamente utilizado em ensino e pesquisa, contribuindo para a visualização e compreensão de conceitos abstratos. Neste minicurso, serão abordados conteúdos fundamentais para o uso do GAP, incluindo programação na linguagem GAP, manipulação de matrizes e operações de álgebra linear, estudo de grupos finitos e suas propriedades, bem como a exploração de álgebras. O objetivo é proporcionar aos participantes uma introdução sólida para utilizar o GAP como ferramenta computacional no estudo da álgebra.

Resumo:  A teoria de probabilidades tradicional fornece uma forma sutil, mas familiar, de tratar sistemas sobre cuja dinâmica temos informação insuficiente para um tratamento determinístico. No entanto, a interpretação probabilística usual pressupõe que é sempre possível, ao menos em princípio, nos aproximarmos indefinidamente de um tratamento determinista colhendo mais informação sobre o sistema. 

A teoria quântica, no entanto, e em particular a nova ciência da informação e computação quânticas, requerem um tipo essencialmente diferente de probabilidade, onde há limites fundamentais e inescapáveis a um tratamento determinístico e extração de informação. Neste minicurso, pretendo discutir diversos aspectos da teoria de probabilidade quântica, ou não-comutativa, e alguns teoremas ´´no-go'' famosos limitando a informação clássica usual, como os teoremas de Gleason, Kochen-Specker e de Bell. 

Resumo:  Wall papers can have beautiful patterns drawn on them, which are necessarily periodic in two directions. Can we classify the different possible wall paper patterns? A natural way to do this is by looking at their symmetries. Does the wall paper admit a rotation of 90° around some center? Does it have any reflections?  It turns out there exist exactly 17 non-equivalent wall papers! One can prove this by checking first which rotations and reflections are admissible, and then study how these can interact with the translations to form the whole symmetry group.

A Frieze pattern is a simpler notion: it is a two-dimensional "decoration" along a line, repetitive in one direction. The same techniques as for wall paper groups are applicable to classify them: there are 7 non-equivalent Frieze patterns. The goal of this mini-course is to prove this classification. 

Lecture 1 will be very introductory and accessible for everybody having some interest in mathematics (or house decoration). I will talk about tilings, wall papers and the isometries of the plane, and formulate the problem of the classification.

In lecture 2 we will see how a wall paper or Frieze pattern leads to a group extension, and hence cut the classification question in a couple of smaller problems. 

In the third and final lecture, we will complete the classification of the Frieze patterns using a technique called "group cohomology" and briefly look again at the wall papers groups.