Résultats

Lorsqu'il y a apparition du phénomène de couplage, on obtient les mouvements suivants.

Figure 1 : Évolution théorique et pratique de l'altitude en fonction du temps pour un effet Wilberforce

Figure 2: Évolution théorique et pratique de l’angle en fonction du temps pour un effet Wilberforce

On peut obtenir facilement les transformées de Fourier de ces signaux.

Figure 3 : Analyse fréquentielle du mouvement de translation pour un effet Wilberforce

Figure 4: Analyse fréquentielle du mouvement de rotation pour un effet Wilberforce

Pour le système dans l’état symétrique le pointage de la rotation permet de tracer les courbes suivantes :

Figure 5 : Évolution théorique et pratique de l'altitude en fonction du temps pour un état symétrique

Figure 6 : Évolution théorique et pratique de l'angle en fonction du temps pour un état symétrique

On peut obtenir facilement les transformées de Fourier de ces signaux.

Figure 7 : Analyse fréquentielle du mouvement de translation pour un état symétrique

Figure 8 : Analyse fréquentielle du mouvement de rotation pour un état symétrique

Pour le système dans l’état antisymétrique, le pointage de la rotation permet de tracer les courbes suivantes :

Figure 9 : Évolution théorique et pratique de l'altitude en fonction du temps pour un état antisymétrique

Figure 10 : Évolution théorique et pratique de l'angle en fonction du temps pour un état antisymétrique

On obtient ensuite les transformées de Fourier correspondantes.

Figure 11 : Analyse fréquentielle du mouvement de translation pour un état antisymétrique

Figure 12 : Analyse fréquentielle du mouvement de rotation pour un état antisymétrique

Les courbes des mouvements dans les modes propres s’apparentent plutôt bien à des sinusoïdes. Elles nous permettent de mesurer les fréquences du mouvement et de les comparer aux fréquences théoriques calculées. Il est également possible de superposer les courbes théoriques et les courbes expérimentales pour comparer leur allures.

On se sert des figures d’analyse fréquentielle pour quantifier la précision de la projection sur les modes propres. Par exemple, on observe grâce à la figure n°8 que la rotation symétrique possède une certaine part de mode antisymétrique (environ 30% si on se fie à l’échelle relative)

Comme évoqué précédemment, le réglage de notre prototype a été crucial pour pouvoir observer le phénomène de couplage. D’après la théorie, la condition majeure de réglage est l’égalisation de kI et mk’. C’est cela qui a intuité le positionnement des écrous sur les tiges lors du réglage du prototype. Cependant, afin de maximiser l’effet Wilberforce nous sommes arrivés à un réglage final où il n’y a pas égalité entre les deux termes :

• k.I = 1,86.10^-3 N.m.kg
• m.k' = 3,14.10^-3 N.m.kg

Or les pulsations propres peuvent être calculées avec l’un ou l’autre jeu de constantes. Cet écart a pour conséquence directe de créer des intervalles pour nos valeurs de pulsations.

En observant les résultats obtenus, on se rend compte que les courbes expérimentales correspondent plutôt bien aux attentes du modèle à l’exception de certaines zones bien précises. Ces zones sont situées lors de l’atténuation du mouvement du pendule (en translation ou en rotation). En effet lorsqu’un mouvement est maximal, l’autre est presque inexistant et c’est lors de cette transition qu'a lieu la divergence avec le modèle. Cette divergence est d’autant plus marquée pour la translation comme on peut le voir sur la figure n°1 ci dessus. Cependant, les courbes de rotation présentent une bien meilleure adéquation avec le modèle comme le montre la figure n°2 ci dessous.

Les courbes des états propres nous ont permis de déterminer les pulsations pratiques des modes symétrique et antisymétrique. Après plusieurs mesures on a donc :

• Pulsation mode symétrique, ω - = 1,9 ± 0,2 rad/s
• Pulsation mode antisymétrique, ω + = 3,1 ± 0,1 rad/s

D’après le réglage de notre prototype, on a :

• ω + compris entre 2.8 et 3.3 rad/s
• ω - compris entre 1.3 et 2.2 rad/s

On remarque que les valeurs mesurées se situent au centre de chacun des intervalles théoriques.

Grâce aux courbes des mouvements, nous avons pu déterminer la constante de temps de notre système ainsi que les facteurs de qualité associés à chaque état propre.

• Constante de temps, 𝜏 = 49.1 ± 0,1s
• Q+ = 152 ± 6
• Q- = 90 ± 10

Avec ces valeurs, on a une bonne correspondance théorique de l’évolution de l’amplitude avec tous les mouvements possibles.

En lisant certaines études sur notre sujet, nous nous sommes aperçus qu’il était courant de prendre en compte une partie de la masse et du moment d’inertie du ressort. Nous avons fixé ces deux facteurs à 1/3, comme il est courant de les trouver dans la littérature scientifique. Cet affinement du modèle nous a permis de réduire l’écart entre pulsations théoriques et pulsations expérimentales.