MATE7086 - Análise em Rn
MATE7086 - Análise em Rn
MATE7086 - Análise em Rn
Turma: A (Programa de Pós-Graduação em Matemática)
Aulas: Terças-Feiras: 9h30h às 11h30 (Sala 300 -3º Andar Bloco PA)
Quintas-feiras: 9h30 às 11h30 (Sala 300 -3º Andar Bloco PA)
Atendimento: Terças-feiras: 13h30 às 15h30 (Sala 308 - 3º Andar Bloco PA)
Início: Terça-Feira, 21 de março de 2023
Término: Terça-feira, 04 de julho de 2023
Formato: Semestral
Carga Horária: 60h
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Topologia do espaço euclidiano. Limite e continuidade. Aplicações diferenciáveis entre espaços euclidianos. Derivada como transformação linear. O gradiente. Regra da cadeia. Fórmula de Taylor. Teorema da função inversa: forma local das imersões e submersões; funções implícitas. Superfícies. Multiplicadores de Lagrange. Integrais múltiplas. Integral superior e integral inferior de uma função limitada num retângulo. Mudanças de variáveis em integrais múltiplas.
Topologia do espaço euclidiano: Normas em Rn, Produtos internos. Sequências em Rn. O espaço Métrico Rn. Topologia em Rn: conjuntos abertos, fechados, compactos e conexos.
Limite e continuidade: Continuidade em Rn. Continuidade Uniforme. Homeomorfismos. Continuidade e Compacidade. Continuidade e Conexidade. Limites.
Aplicações diferenciáveis: Diferenciabilidade em Rn. Derivadas Parciais - Matriz Jacobiana. Derivadas de Ordem Superior. A Regra da Cadeia. Difeomorfismos.
Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial: Teorema do Valor Médio. Teorema de Schwarz. Teorema de Taylor. Teorema da função Inversa. Teorema da Função Implícita.
Superfícies e Multiplicadores de Lagrange: A forma local das imersões. A forma local das submersões. O teorema do posto. Superfícies no Espaço Euclidiano. O método dos multiplicadores de Lagrange.
Integrais múltiplas: Integrais em Paralelepipedos. Medida Nula e Integrabilidade. Conjuntos J-mensuráveis. Integrais em conjuntos J-mensuráveis. Integrais Impróprias. Teorema de Fubini. Teorema de Mudança de Variáveis.
LIMA, R. F. Topologia e Análise no Espaço Rn, SBM, 2015
LIMA, E.L. Curso de Análise. Vol. 2, IMPA, 2014.
BARTLE, R. G. The Elements of Real Analysis, 1964.
LIMA, E.L. Curso de Análise. Vol. 1, IMPA, 2019.
BARTLE, R. SHERBERT, D. Introduction to Real Analysis, John Wiley and Sons, 2000.
SPIVAK, V. Calculus on Manifolds, 1965.
MUNKRES, J. R. Analysis On Manifolds, Westview Press, eBook Published -2018.
O controle de frequência será feito via chamadas nominais no início de cada aula. No final do semestre, se a Frequência for inferior a 75% o aluno estará Reprovado com Conceito D.
Se Média ≥ 70 e Frequência ≥ 75%, então o aluno está Aprovado e:
Conceito A: Média ≥ 90.
Conceito B: 80 ≤ Média <90.
Conceito C: 70 ≤ Média <80.
Se Média < 70 e Frequência ≥ 75%, então o aluno está Reprovado com Conceito D.
Lista 1 - Normas, Produtos Internos e Distâncias em Rn.
Lista 2 - Sequências em Rn. Conjuntos Abertos e Fechados.
Lista 3 - Fronteira de um conjunto. Conjuntos Compactos e Conexos.
Lista 4 - Aplicações Contínuas e Uniformemente Contínuas. Continuidade e Compacidade. Continuidade e Conexidade.
Lista 5 - Aplicações Diferenciáveis.
Lista 6 - Derivadas de Ordem Superior. A Regra da Cadeia. Difeomorfismos. O Teorema do Valor Médio. Teorema de Schwarz. Teorema de Taylor.
Lista 7 - Teorema da Função Inversa. Teorema da Função Implícita. Multiplicadores de Lagrange.
Lista 8 - Integrais em Paralelepípedos. Medida Nula e Integrabilidade. Conjuntos J-mensuráveis. Integrais em conjuntos J-mensuráveis. Teorema de Fubini e de Mudança de Variáveis.
Aula 01 - 21/03/23 - Apresentação da Disciplina. O Espaço Vetorial Rn. Normas em Rn e Equivalência de Normas.
Aula 02 - 23/03/23 - Produtos Internos em Rn. Distância em Rn. Sequências em Rn. Sequências Limitadas.
Aula 03 - 28/03/23 - Sequências Convergentes. O Teorema de Bolzano-Weierstrass. Equivalência de Normas. Sequências de Cauchy e Completude de Rn.
Aula 04 - 30/03/23 - Pontos interiores e Conjuntos Abertos. Conjuntos Fechados. Pontos de Aderência e Fecho de um conjunto.
Aula 05 - 04/04/23 - Fronteira de um conjunto e Pontos de Acumulação. Topologia Relativa. Compacidade.
Aula 06 - 06/04/23 - Caracterização dos Conjuntos Compactos. O Teorema de Heine-Borel. Compacidade Sequencial. Compacidade Relativa.
Aula 07 - 11/04/23 - Conjuntos Conexos. Componentes Conexas. Aplicações Lineares de Rn em Rm.
Aula 08 - 13/04/23 - Continuidade de Aplicações de Rn em Rm. Caracterização topológica e sequencial da continuidade.
Aula 09 - 18/04/23 - Continuidade Uniforme. Homeomorfismo. Teorema do Ponto Fixo.
Aula 10 - 20/04/23 - Teorema da Perturbação da Identidade. Continuidade e Compacidade. Continuidade e Conexidade.
Aula 11 - 25/04/23 - Conexidade por Caminhos.
Aula 12 - 27/04/23 - Limites. Propriedades topológicas de produto cartesiano.
Aula 13 - 02/05/23 - Prova 01
Aula 14 - 04/05/23 - Aplicações Diferenciáveis.
Aula 15 - 09/05/23 - Sequências em L(Rn,Rm). O Teorema de Hadamard. Diferenciabilidade da soma, produto e quociente.
Aula 16 - 11/05/23 - Exemplos de Aplicações Diferenciáveis. Derivada Parcial e Matriz Jacobiana. O Gradiente.
Aula 17 - 16/05/23 - Derivadas de Ordem Superior. A Regra da Cadeia.
Aula 18 - 18/05/23 - Usos da Regra da Cadeia. Difeomorfismos. O Teorema do Valor Médio.
Aula 19 - 23/05/23 - Condições Suficientes para Diferenciabilidade. O Teorema de Schwartz. O Teorema de Taylor
Aula 20 - 25/05/23 - Teorema da Função Inversa.
Aula 21 - 30/05/23 - Teorema da Função Implícita. Forma local das Submersões. Forma local das Imersões.
Aula 22 - 01/06/23 - Aplicações.
Aula 23 - 06/06/23 - Prova 02
------ - 08/06/23 - Feriado: Corpus Christi
Aula 24 - 13/06/23 - Multiplicadores de Lagrange
Aula 25 - 15/06/23 - Integrais em Paralelepípedos.
Aula 26 - 20/06/23 - Medida Nula e Integrabilidade.
Aula 27 - 22/06/23 - Critério de Integrabilidade de Lebesgue. Conjuntos J-mensuráveis.
Aula 28 - 27/06/23 - Integrais em conjuntos J-mensuráveis. Teorema de Fubini.
Aula 29 - 29/06/23 - Teorema da Mudança de Variáveis.
Aula 30 - 04/07/23 - Prova 3