7.1 Поняття системи числення. Принципи побудови систем числення

Числова інформація в комп'ютерах характеризується;

- системою числення (двійкова, десяткова та ін.);

- видом числа (числа дійсні, комплексні, масиви);

- типом числа (змішане, ціле, дробове),

- формою представлення числа (місце коми) — з природною (змінною), фіксованою, плаваючою комами;

- розрядною сіткою і форматом числа;

- діапазоном і точністю подання чисел;

- способом кодування від'ємних чисел — прямим, оберненим та доповняльним кодами;

- алгоритмами виконання арифметичних операцій.

Системою лічби (числення) називається сукупність цифр і правил для записування чисел. Запис числа у деякій системі числення називається його кодом. Усі системи числення поділяють на позиційні й не позиційні. Для запису чисел у позиційній системі числення використовують певну кількість графічних знаків (цифр і букв), які відрізняються один від одного. Число таких знаків q називається основою позиційної системи числення. В комп'ютерах використовують позиційні системи з різною основою.

Система лічби з основою два (цифри 0 і 1) називається двійковою, система лічби з основою три (цифри 0, 1, 2) – трійковою і т.д. У системах числення з основою меншою десяти використовують десяткові цифри, а для основи більшої десяти добавляють букви латинського алфавіту – A, В, C, D, E, F. Далі в позначеннях при необхідності пишуть десятковий або буквений індекс (табл. 7.1), що дорівнює основі застосованої системи числення.

У позиційних системах числення значення кожної цифри визначається її зображенням і позицією в числі. Окремі позиції в записі числа називають розрядами, а номер позиції – номером розряду. Число розрядів у записі числа називається його розрядністю і збігається з довжиною числа.

 Таблиця 7.1 – Таблиця знаків поширених систем числення

У непозиційних системах числення значення кожної цифри не залежить від її позиції. Найвідомішою непозиційною системою є римська, в якій використовуються сім знаків:

Наприклад III — 3; LIX — 59,  DLV — 555.

Недоліком непозиційної системи є відсутність нуля та формальних правил запису чисел і відповідно арифметичних дій з ними (хоч за традицією римськими числами часто користуються при нумерації розділів у книгах, віків у історії та ін. ) .

Система лічби повинна забезпечувати:

- можливість представлення будь-якого числа в заданому діапазоні;

- однозначність, стислість запису числа і простоту виконання арифметичних операцій;

- досягнення високої швидкодії машини в процесі обробки інформації. Число в позиційній системі можна представити поліномом:

де q – основа системи числення, qі – вага позиції, аі є {0, 1, ... , (q - 1)} – цифри в позиціях числа; 0, 1, ..., k — номери розрядів цілої частини числа, -1, -2, ... , -т – номери розрядів дробової частини числа.

Позиційні системи з однаковою основою в кожному розряді називаються однорідними. Оскільки на значення q немає ніяких обмежень, то теоретично можлива нескінченна множина позиційних систем числення.

Перевагою двійкової системи є: простота виконання арифметичних операцій; наявність надійних мікроелектронних схем з двома стійкими станами (тригерів), призначених для зберігання значень двійкового розряду — цифр 0 або 1. Двійкові цифри називають також бітами. У двійково-десятковій системі лічби кожна десяткова цифра записується чотирма двійковими розрядами (тетрадами).

7.2 Правила переведення чисел з однієї системи числення в іншу

      Для переведення цілого числа з одній системи числення в іншу необхідно поділити перевідне число на нову основу за правилами початкової системи. Одержана перша остача є значенням молодшого  розряду  в  новій  системі,   а  першу  частку  необхідно  знову ділити.   Цей  процес продовжується аж до появи неподільної частки. Результат записують у порядку, оберненому їхньому одержанню.

Приклад.

Переведення цілого десяткового числа А = 118  у двійкове.

Для переведення правильного дробу з однієї системи числення в іншу необхідно, діючи за правилами початкової системи, помножити перевідне число на основу нової системи; від результату відокремити цілу частину, а дробову частину, що залишилася, знову помножити на цю основу. Процес такого множення повторюється до одержання заданого числа цифр. Результат записують як цілі частини добутку в порядку їхнього одержання.

Приклад.

Переведення правильного десяткового дробу А = 0,625 у двійкове число з точністю до четвертого знака:

Для переведення змішаних чисел у двійкову систему потрібно окремо переводити їхні цілу і дробову частини.

Для переведення двійкового числа у шістнадцяткове початкове число розбивають на тетради вліво та вправо від коми; відсутні крайні цифри доповнюють нулями. Потім кожну тетраду записують шістнадцятковою цифрою.

Розглянуті позиційні системи числення відносять до класичних. Крім них, в комп'ютерах використовують ряд спеціальних позиційних двійкових систем.

Перевагою спеціальних систем числення є спрощення і прискорення виконання ряду арифметичних операцій (додавання, віднімання, множення, ділення) та представлення єдиним кодом додатних і від'ємних чисел без додаткового знакового розряду. Недоліком спеціальних систем є складність правил переводу їх в класичні системи числення і навпаки, а також неоднозначне представлення ряду чисел.

7.3 Вибір системи числення

У комп'ютерах в основному використовують однорідні позиційні системи числення. При виборі основи q цих систем враховують такі показники:

1.   Наявність фізичних елементів для зображення цифр системи у вигляді одного із q станів, наприклад, різниці напруг. Зменшення числа станів спрощує фізичний елемент, тому найбільш сприйнятою є двійкова система,

2. Економічність системи числення. Система з більшою основою q забезпечує представлення певного числа меншою кількістю розрядів. Але при цьому ускладнюється побудова фізичного елемента з більшим числом станів.

 Найбільш економічною є система з основою q - 2,73 ... 3. Двійкова система економічно поступається трійковій на 5,8%, проте має надійніші фізичні елементи. Крім того, для запам'ятовування цифр трійкової системи 0, 1, 2 використовують два двійкових фізичних елементи. Із цього виходить, що найефективнішою є двійкова система числення.

3.   Трудомісткість і швидкодія виконання арифметичних операцій. Чим менша основа q, тим менше цифр бере участь у обчисленні даних і тим вища швидкодія комп'ютера. Наприклад, швидкодія машини в двійковій системі перевищує швидкодію в трійковій на 26,2%, а в десятковій — у 2,7 рази.

4.   Наявність формального математичного апарату для аналізу і синтезу цифрових схем. Таким апаратом для двійкових елементів є булева алгебра.

Таким чином, з перерахованих показників видно, що найприйнятнішою для застосування в комп'ютерах є однорідна позиційна двійкова система числення. Двійкові системи числення використовують у великих і середніх комп’ютерах, призначених для розв'язання науково-технічних задач з великим об’ємом обчислень і порівняно малою кількістю початкових даних.

Двійково-десяткову систему застосовують для розв’язання економічних задач, які характеризуються великим об'ємом вхідних і вихідних даних порівняно з малим об’ємом розрахунків.

Двійково-десяткова система має такі переваги:

- не потрібне переведення початкових даних з однієї системи в іншу;

- зручність контролю результатів зображенням їх на екрані дисплея;

- зручність автоматичного контролю через наявність надлишкових кодів у зображенні цифр: 1010, 1011 ,.., 1111