Raiz quadrada instantânea

Para realizar o truque, é preciso ter à mão os quadrados dos dez primeiros inteiros positivos, que o mágico pode escrever em um quadro, a título de "revisão" sobre o conceito de quadrado. O efeito será mais impressionante se o mágico memorizar esta tabela de valores, o que é relativamente fácil.

Examinando esta tabela verificamos que os quadrados de 1 e 9 tem 1 como algarismo da unidade, os quadrados de 2 e 8 terminam em 4, os de 3 e 7 terminam em 9, os de 4 e 6 terminam em 6, apenas 5² termina em 5, e 10² termina em 0.

Agora, por exemplo, como 3² = 9 e 7² = 49, se um número de dois algarismos termina com o algarismo 3 ou 7, seu quadrado também termina com 9.

Por exemplo, 13² = 169, 17² = 289, 23² = 529, 27² = 729, etc.

Digamos que a pessoa pensou no número 63. Ela calcula 63² e obtém 3969 e diz este número ao mágico. O mágico sabe então que o algarismo das unidades do número pensado é 3 ou 7. Inicialmente, o mágico ignora os dois últimos algarismos de 3969, ficando com 39. O mágico procura, na tabela de quadrados dos números de 1 a 10, o número mais próximo e menor que (ou igual a) 39. Neste caso, encontra 36, que é o quadrado de 6. Este 6 será o algarismo das dezenas do número pensado. O mágico sabe então que o número informado, 3969, é o quadrado de 63 ou de 67.

Para decidir qual dos dois é o número pensado, o mágico calcula mentalmente 65², que é 4225. Os quadrados de números terminados em 5 podem ser calculados facilmente. Para calcular 65², fazemos 6×7 (6 vezes seu sucessor, 7), obtendo 42, e então justapomos o final 25, formando o número 4225. Outro exemplo: 35² = 1225, pois 3×4 = 12 e aí é só justapor o final 25 (o final justaposto será sempre 25).

O mágico nota então que 65², que é 4225, é maior que o quadrado informado, 3969. Portanto 3969 só pode ser o quadrado de 63, que é menor que 65.

Justificativa para a determinação do algarismo das dezenas. Como 6² = 36, e 7² = 49, teremos 60² = 3600, e 70² = 4900. Como 60² < 3969 < 70², o número do qual 3969 é quadrado tem que estar entre 60 e 70, restando então decidir se é 63 ou 69.