Teoria da Compacidade Compensada e Aplicações

A análise assintótica em problemas de equações diferenciais parciais envolve frequentemente  o estudo de sequencias de soluções aproximadas que convergem fracamente, mas não fortemente, em  espaços apropriados. Um obstáculo analítico reside na passagem ao limite em produtos de sequencias que convergem fracamente, mas que não se sabe informações dessa convergência fraca para o produto dos limites. A teoria da compacidade compensada, desenvolvida por Tartar e Murat nos anos 1970, fornece uma abordagem revolucionaria, que explora ortogonalidade entre campos vetoriais com propriedades  diferenciais complementares para tratar essa falta de compacidade. 

Nas décadas seguintes, foi desenvolvida  por Tartar e Gerard, as H-medidas, ferramenta essa que incorpora propriedades microlocais que servem  para quantificar precisamente a energia perdida nas oscilações de alta frequência. Dessa forma, a ideia do minicurso e desenvolver o clássico Lema do Div-Rot, a convergência duas escalas e trazer como aplicação a homogenização de um problema elíptico. Além disso, vamos desenvolver a sofisticada teoria das H-medidas  e comentar sobre possíveis aplicações. Nosso objetivo é compreender como condições de compensação diferencial e informação microlocal permitem a análise assintótica em problemas envolvendo equações diferenciais parciais.

Professor: Luís Fernando Salvino

Ementa: O minicurso sera dividido em quatro aulas:  

  1) Motivação: A convergência fraca do produto;  O lema do div-rot;

  2) A convergência duas escalas; 

  3) Aplicação: Homogenização de um problema elíptico;

  4) H-medidas e aplicações.

Horário: 13h às 15h, 12,13,14 e 15 de janeiro.  

Inscrições: https://forms.gle/gz6JKw3pc6NUgPc67 

Bibliografia básica:

1) V.V. Jikov, S.M. Kozlov, O.A. Oleinik, Homogenization of Differential Operators and Integral Functionals, Springer-Verlag, 1994.

2) L. Tartar, H-measures, a new approach for studying Homogenisation, oscillations and concentration effects in partial differential equations, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 115(3–4)(1990), 193–230.