V Encuentro ARgentino de Mecánica geométrica y Física Matemática

La temática del Encuentro gira en torno a: 

• sistemas mecánicos lagrangianos y hamiltonianos,                                                                                                

• teorías clásicas de campos, 

• simetrías en mecánica, 

• teorías de reducción, 

• integración geométrica, 

• sistemas noholónomos, 

• redes neuronales geométrica y físicamente informadas,

• cálculo variacional, 

• mecánica discreta, 

• algebroides y grupoides de Lie y sus aplicaciones, 

• estructuras de Dirac y áreas afines.                                   

En diversas áreas de la matemática es necesario crear programas como parte del trabajo de investigación. Pueden ser implementaciones de simulaciones numéricas, análisis de datos o exploración de casos, entre otros. La mayoría de nosotros tomamos un enfoque ad hoc: escribimos un par de bucles 'for' en un Jupyter Notebook o similar, ponemos los números de nuestro ejemplo, hacemos copias de los archivos para probar otros números... Al cabo de un tiempo ya perdimos la cuenta de si el archivo del ejemplo 3 tiene la versión corregida del algoritmo o todavía usa el antiguo. Cuando finalmente logramos nuestra figura para el paper, dejamos todo como está. Meses después, necesitamos volver al código y ya no recordamos cómo interactúa cada parte con las demás, o siquiera cuál es la versión de trabajo.

Para evitar situaciones como estas, en este curso veremos conceptos y herramientas que podemos usar para escribir código matemático flexible, reutilizable y eficiente. Nuestro objetivo es dejar de escribir prototipos frágiles e incorporar buenas prácticas. Como ejemplo de trabajo tomaremos las ecuaciones de Euler–Lagrange discretas y las transformaremos en código de Python que iremos mejorando gradualmente. No se requiere experiencia de programación previa, pero será útil conocer conceptos como variables, bucles y funciones, independientemente de la sintaxis específica. Comenzaremos con la estructuración básica del código; luego discutiremos la representación de números en punto flotante, y pasaremos a técnicas más avanzadas como paralelismo y diferenciación automática con JAX, tests de regresión con pytest y control de versiones con Git.

En este curso proponemos transitar tres secciones para introducir a las y los participantes en nociones básicas de cinemática directa e inversa de Robots, empleando el lenguaje unificador de las Álgebras Geométricas (AG).

Primero, presentaremos el estado del arte de la cinemática directa e inversa en tres trabajos de interés para el Ciii, estos son: robot manipulador (RHINO), robot (ARAÑA) de rescate y Síntesis de Mecanismos Flexibles con Vigas. Los cuales son modelados con Álgebra Lineal, Geometría Diferencial, Teoría de Lie y Teoría de Helicoides.

Segundo, introduciremos la idea del producto en una AG como la conjunción simultánea del producto escalar con el producto exterior, ab = a∙b + a∧b. Con ello, brindaremos formulaciones naturales a los movimientos rígidos del plano y del espacio con un alto contenido de conceptos visuales, para luego, introducir las Álgebras de Clifford como una generalización natural de dichos objetos. Este camino responde a una iniciativa educativa que estamos proponiendo para la UTN-FRC; que inicia con un curso de especialidad para estudiantes de ingeniería con un fuerte componente en Álgebra Lineal, que luego, es escalable a un curso de posgrado en Álgebras Geométricas.

Por último, veremos cómo recientemente son usados los cuaterniones y algunas de sus extensiones (cuaterniones duales y tridentes) para el control robusto de Drones.

Los sistemas mecánicos forzados forman una rica familia de sistemas dinámicos que permiten modelar una gran cantidad de sistemas de interés en robótica e ingeniería. Si bien la presencia de fuerzas externas suele impedir la existencia de magnitudes conservadas, existen condiciones bajo las cuales magnitudes tales como estructuras simplécticas o aplicaciones momento sí son preservadas por el flujo del sistema, lo que motiva el interés por construir integradores numéricos que respeten este fenómeno.

En los últimos años, María Barbero-Liñán y David Martín de Diego han presentado un esquema de construcción de integradores simplécticos para sistemas sin fuerzas basado en la noción de "discretization map", una generalización del concepto de retracción. Además, en otro trabajo con Juan Carlos Marrero, muestran que si el sistema presenta una simetría que dé lugar a la conservación de la aplicación momento, este marco permite incorporarla de modo que el integrador numérico construido también la preserve.

En esta charla, repasaremos el esquema mencionado anteriormente y veremos cómo puede adaptarse para incluir sistemas mecánicos forzados, respetando la eventual conservación de la aplicación momento, cuando la simetría del sistema la permita.

La teoría de Hartree-Fock-Bogoliubov (HFB) es un método de aproximación en mecánica cuántica para sistemas fermiónicos. El estudio matemático de esta teoría comenzó en los años 90 con un trabajo de Bach, Lieb y Solovej, y fue abordado desde la perspectiva del cálculo variacional, ecuaciones diferenciales y análisis numérico. En esta charla,  presentamos algunas estructuras geométricas de dimensión infinita dentro de la teoría de HFB. Más precisamente, estudiamos órbitas de ciertos operadores  (''matrices de densidad generalizadas'') bajo la acción de un grupo de Lie-Banach  (''transformaciones de Bogoliubov''). Basado en un trabajo en conjunto con Claudia Alvarado. 

Esta charla aborda resultados de mi tesis doctoral. Hemos estudiado el anáogo discreto de la sucesión exacta de fibrados vectoriales introducida por M. Atiyah en 1957, asociada a un G-fibrado principal π : Q → Q/G. En este contexto, las escisiones de una sucesión exacta corresponden a conexiones sobre el fibrado

principal π. Los análogos discretos que consideramos aquí pueden estudiarse en dos categorías diferentes: en la categoría de fibrados con una sección elegida), Fbs, y en la categoría de grupoides de Lie locales, lLgpd. En Fbs encontramos una correspondencia entre las escisiones (semilocales) de la sucesión de Atiyah discreta (SAD), las conexiones discretas sobre el mismo fibrado principal π, y los isomorfismos de la SAD con ciertas extensiones de producto fibrado en Fbs. 

Además observamos que las escisiones a derecha de la SAD en Fbs no son necesariamente escisiones en lLgpd; utilizamos esta obstrucción para definir la curvatura discreta de una conexión discreta. A partir de esto, probamos que existe una correspondencia entre las escisiones de la SAD en lLgpd y aquellas conexiones discretas con curvatura trivial. También introducimos un producto semidirecto entre ciertos grupoides de Lie locales y demostramos que las extensiones de estos productos corresponden a las escisiones de la SAD en lLgpd.

Por otro lado, cuando el grupo de estructura del fibrado es un grupo de Lie abeliano mostramos que la forma de conexión discreta y su curvatura pueden

interpretarse como cocadenas singulares de orden 1 y 2, respectivamente, siendo la curvatura el coborde de la forma de conexión. Bajo este formalismo, demostramos un análogo discreto de una fórmula para la holonomía alrededor de un lazo, dada por Marsden, Montgomery y Ratiu para conexiones (continuas) en un contexto similar. 

La integral de caminos es una de las herramientas de cálculo más utilizadas en la actualidad a la hora de estudiar sistemas de interés físico tanto en mecánica cuántica como en teoría cuántica de campos. Desde que la misma fuera desarrollada por R. P. Feynman en 1948 (fue previamente propuesta por P. A. M. Dirac en 1933), ha contado con una innumerable cantidad de éxitos tanto teóricos como computacionales que la han llevado a ser uno de los pilares fundamentales de la física actual. A pesar de esta robusta y consolidada fama, no existe en la actualidad una formulación consistente que permita emplearlas en contextos donde la variedad espacio-temporal posea un borde.

En la presente charla se abordará el problema de intentar llegar a una formulación de estas integrales sobre tales espacios en el contexto de la mecánica cuántica. En una primera parte, se iniciará con un breve repaso acerca de cómo construir las integrales de caminos sobre espacios sin bordes (por simplicidad, se hará énfasis en el caso de la recta real) para luego ver cuáles son algunos de los problemas que surgen al tratar de adaptar dicha construcción a variedades con bordes. En una segunda parte, se presentarán también dos técnicas surgidas durante las dos últimas décadas en el contexto del formalismo línea de mundo (WLF) de la teoría cuántica de campos que permiten "esquivar" la necesidad de una formulación precisa de estas integrales: el método de las imágenes y el método de los potenciales delta. Se concluirá con una discusión sobre algunas posibles generalizaciones de dichas técnicas.

En esta charla presentaremos una introducción a la dinámica cuántica no hermítica desde una perspectiva físico-matemática, con especial énfasis en el papel central que desempeña la métrica en una formulación consistente de la teoría. En particular, discutiremos cómo la definición de valores esperados, varianzas, evolución temporal y relaciones de incertidumbre requiere la incorporación de estructuras métricas adecuadas, especialmente al considerar los distintos regímenes espectrales: la fase no rota, la fase rota y los puntos excepcionales.

En este marco, mostraremos resultados sobre relaciones de incertidumbre para observables que evolucionan bajo Hamiltonianos no hermíticos, formuladas a partir de operadores métricos apropiados en cada régimen dinámico. Como aplicación, analizaremos un modelo PT-simétrico de dimensión finita, en el cual la medida de incertidumbre exhibe comportamientos cualitativamente diferentes según la fase espectral en la que se encuentre el sistema.

Finalmente, mencionaremos algunos aspectos vinculados con el estudio de puntos excepcionales de orden superior, destacando su relevancia en la interacción entre geometría, teoría espectral y física matemática.

En el método clásico de reducción simpléctica (Marsden–Weinstein), a la acción del grupo de Lie que codifica la simetría de un sistema hamiltoniano se le asocia un mapa denominado aplicación momento standard, que a cada punto del espacio de fases le asigna un elemento en el dual del álgebra de Lie. Los conjuntos de nivel de este mapa son invariantes bajo la dinámica del sistema y constituyen el dominio geométrico sobre el cual se construyen los espacios de fases reducidos. Existen muchas situaciones en las que tal construcción no es viable, y el procedimiento debe modificarse a costa de considerables complicaciones técnicas.

En 2002, Pablo Ortega y Tudor Ratiu definieron una nueva aplicación momento, denominada mapa de momento óptimo, que captura de manera más eficiente las simetrías de un sistema mecánico. Sus conjuntos de nivel tienen la propiedad de ser los subconjuntos más pequeños del espacio de fases, preservados por la dinámica asociada a cualquier función hamiltoniana invariante por la acción del grupo de simetría. Basados en este nuevo mapa, los autores desarrollaron el método de reducción óptima, que supera muchas de las limitaciones del método clásico. En la presente charla, se expondrán algunos de los resultados que surgen de aplicar el método de reducción óptima al problema espacial de los tres cuerpos.