V Encuentro ARgentino de Mecánica geométrica y Física Matemática

La temática del Encuentro gira en torno a: 

• sistemas mecánicos lagrangianos y hamiltonianos,                                                                                                

• teorías clásicas de campos, 

• simetrías en mecánica, 

• teorías de reducción, 

• integración geométrica, 

• sistemas noholónomos, 

• redes neuronales geométrica y físicamente informadas,

• cálculo variacional, 

• mecánica discreta, 

• algebroides y grupoides de Lie y sus aplicaciones, 

• estructuras de Dirac y áreas afines.                                   

En diversas áreas de la matemática es necesario crear programas como parte del trabajo de investigación. Pueden ser implementaciones de simulaciones numéricas, análisis de datos o exploración de casos, entre otros. La mayoría de nosotros tomamos un enfoque ad hoc: escribimos un par de bucles 'for' en un Jupyter Notebook o similar, ponemos los números de nuestro ejemplo, hacemos copias de los archivos para probar otros números... Al cabo de un tiempo ya perdimos la cuenta de si el archivo del ejemplo 3 tiene la versión corregida del algoritmo o todavía usa el antiguo. Cuando finalmente logramos nuestra figura para el paper, dejamos todo como está. Meses después, necesitamos volver al código y ya no recordamos cómo interactúa cada parte con las demás, o siquiera cuál es la versión de trabajo.

Para evitar situaciones como estas, en este curso veremos conceptos y herramientas que podemos usar para escribir código matemático flexible, reutilizable y eficiente. Nuestro objetivo es dejar de escribir prototipos frágiles e incorporar buenas prácticas. Como ejemplo de trabajo tomaremos las ecuaciones de Euler–Lagrange discretas y las transformaremos en código de Python que iremos mejorando gradualmente. No se requiere experiencia de programación previa, pero será útil conocer conceptos como variables, bucles y funciones, independientemente de la sintaxis específica. Comenzaremos con la estructuración básica del código; luego discutiremos la representación de números en punto flotante, y pasaremos a técnicas más avanzadas como paralelismo y diferenciación automática con JAX, tests de regresión con pytest y control de versiones con Git.

La teoría de Hartree-Fock-Bogoliubov (HFB) es un método de aproximación en mecánica cuántica para sistemas fermiónicos. El estudio matemático de esta teoría comenzó en los años 90 con un trabajo de Bach, Lieb y Solovej, y fue abordado desde la perspectiva del cálculo variacional, ecuaciones diferenciales y análisis numérico. En esta charla,  presentamos algunas estructuras geométricas de dimensión infinita dentro de la teoría de HFB. Más precisamente, estudiamos órbitas de ciertos operadores  (''matrices de densidad generalizadas'') bajo la acción de un grupo de Lie-Banach  (''transformaciones de Bogoliubov''). Basado en un trabajo en conjunto con Claudia Alvarado. 

En esta charla presentaremos una introducción a la dinámica cuántica no hermítica desde una perspectiva físico-matemática, con especial énfasis en el papel central que desempeña la métrica en una formulación consistente de la teoría. En particular, discutiremos cómo la definición de valores esperados, varianzas, evolución temporal y relaciones de incertidumbre requiere la incorporación de estructuras métricas adecuadas, especialmente al considerar los distintos regímenes espectrales: la fase no rota, la fase rota y los puntos excepcionales.

En este marco, mostraremos resultados sobre relaciones de incertidumbre para observables que evolucionan bajo Hamiltonianos no hermíticos, formuladas a partir de operadores métricos apropiados en cada régimen dinámico. Como aplicación, analizaremos un modelo PT-simétrico de dimensión finita, en el cual la medida de incertidumbre exhibe comportamientos cualitativamente diferentes según la fase espectral en la que se encuentre el sistema.

Finalmente, mencionaremos algunos aspectos vinculados con el estudio de puntos excepcionales de orden superior, destacando su relevancia en la interacción entre geometría, teoría espectral y física matemática.

En el método clásico de reducción simpléctica (Marsden–Weinstein), a la acción del grupo de Lie que codifica la simetría de un sistema hamiltoniano se le asocia un mapa denominado aplicación momento standard, que a cada punto del espacio de fases le asigna un elemento en el dual del álgebra de Lie. Los conjuntos de nivel de este mapa son invariantes bajo la dinámica del sistema y constituyen el dominio geométrico sobre el cual se construyen los espacios de fases reducidos. Existen muchas situaciones en las que tal construcción no es viable, y el procedimiento debe modificarse a costa de considerables complicaciones técnicas.

En 2002, Pablo Ortega y Tudor Ratiu definieron una nueva aplicación momento, denominada mapa de momento óptimo, que captura de manera más eficiente las simetrías de un sistema mecánico. Sus conjuntos de nivel tienen la propiedad de ser los subconjuntos más pequeños del espacio de fases, preservados por la dinámica asociada a cualquier función hamiltoniana invariante por la acción del grupo de simetría. Basados en este nuevo mapa, los autores desarrollaron el método de reducción óptima, que supera muchas de las limitaciones del método clásico. En la presente charla, se expondrán algunos de los resultados que surgen de aplicar el método de reducción óptima al problema espacial de los tres cuerpos.