IV Encuentro ARgentino de Mecánica geométrica y Física Matemática

En esta charla, vamos a ver algunos resultados obtenidos recientemente en colaboración con R. Hatton. La idea inicial vino de la observación (en el laboratorio) de que algunos planteos clásicos no llevaban a una verdadera optimización en ciertos sistemas robóticos concretos. Estos planteos llevan a curvas llamadas "(cubic) Riemannian splines". Nuestro trabajo consistió en observar que existe una métrica secundaria, distinta de la de la "masa", que determina el funcional costo. El resultado principal es la deducción de un sistema de ecuaciones para las curvas óptimas llamadas "biased splines" en las que aparece un tensor de compatibilidad entre las 2 métricas. Finalmente, mostramos en ejemplos concretos cómo el nuevo enfoque mejora la optimización. 

Tal como sucede en el mundo continuo, es bien conocido que el flujo de los sistemas Lagrangianos discretos (sin fuerzas) preserva una estructura simpléctica asociada al Lagrangiano discreto. Este resultado, sin embargo, no se traslada, en principio, a los sistemas forzados. En esta charla exploramos condiciones sobre la fuerza discreta que permitan garantizar la existencia de una estructura simpléctica conservada por el flujo de un sistema Lagrangiano discreto forzado. 

¿Continúa abierto el problema de encontrar una formulación canónica para la descripción hamiltoniana de las teorías covariantes de campos clásicos de orden superior? Se hicieron algunos intentos a finales de los años 70 y principios de los 80, pero sólo hasta finales de los años 2000 se obtuvieron resultados parcialmente positivos (CMC et al., 2009). Esta formulación es clave para la cuantización de las teorías de campos de orden superior y la integración de EDP evolutivas de orden superior. En esta charla, presentaremos avances, ya comunicados en otras conferencias internacionales y basados en la involución de Modugno (1987), que muestran que tal formulación canónica es factible.

La construcción de las ecuaciones de Hamilton requiere la especificación de estructuras geométricas especiales, ya sea la definición de una transformación de Legendre o la selección de una sección hamiltoniana, entre otras características. El propósito de la siguiente charla es presentar los ingredientes fundamentales involucrados en la formulación hamiltoniana de mecánica y teorías de campo desde una perspectiva diferente, intentando independizar dicha construcción de todas las particularidades geométricas heredadas del hecho de que, en la formulación usual, implícitamente se asume que el problema variacional en cuestión vive en un fibrado de jets.

En esta charla estudiaremos la dinámica de sistemas mecánicos de contacto en grupos de Lie que son invariantes por una acción de un grupo de Lie. Análogo al caso estándar de la mecánica clásica en grupos de Lie, las simetrías existentes nos permiten reducir el numero de ecuaciones diferenciales describiendo la dinámica del sistema. Obtendremos las ecuaciones de Euler-Poincaré-Herglotz en el espacio de fases extendido 

$\mathfrak {g}\times\R $ asociado con el espacio de fases extendido $ TG\times\R $, donde la variedad de configuración del sistema es un grupo de Lie G y $\mathfrak {g}$ denota su correspondiente algebra de Lie. Finalmente, extenderemos el proceso de reducción al caso de sistemas con symmetry-breaking que son invariables por una acción de un subgrupo de Lie de simetrías. 

Los sistemas mecánicos discretos usualmente son descriptos mediante el formalismo variacional a partir de una función Lagrangiana (definida en QxQ). Al igual que en el caso continuo, también es posible describir dichos sistemas usando el formalismo variacional a partir de una función Hamiltoniana (definida en T^*Q). Mientras que la primera versión ha sido explorada en abundancia, la segunda está mucho menos desarrollada.

En esta charla daremos una noción de sistema Hamiltoniano discreto sujeto a fuerzas externas -en un contexto variacional-, motivada en la formulación variacional Hamiltoniana continua y que es compatible con otras nociones disponibles en la literatura en ausencia de fuerzas. Cuando un sistema de este tipo es visto como una discretización de un sistema Hamiltoniano forzado continuo es posible usar las trayectorias del sistema discreto para aproximar las del continuo, dando lugar a integradores variacionales. Discutiremos también algunos resultados sobre el análisis de errores para estos sistemas. Es decir, veremos cómo relacionar el error cometido al aproximar las trayectorias continuas por las discretas en términos del error cometido al aproximar la función Hamiltoniana y la fuerza (continuas) por una función Hamiltoniana discreta y una fuerza discreta. 

En el estudio de problemas variacionales continuos, la noción de puntos conjugados juega un papel importante al analizar si una curva crítica se trata de un extremo (máximo o mínimo). Dichos puntos se pueden caracterizar usando la ecuación de Jacobi. Hablaremos de cómo definir adecuadamente puntos conjugados para el caso de sistemas discretos. La principal diferencia a tener en cuenta es que una trayectoria discreta crítica no tiene por qué pasar exactamente por puntos que sean conjugados en el sentido continuo. Usando el Lagrangiano discreto exacto hablaremos de la conexión entre las ecuaciones de Jacobi y los puntos conjugados en los dos contextos.

Las estructuras polisimplécticas y policosimplécticas ofrecen una alternativa sencilla para formular las ecuaciones de las teorías de campos de primer orden. En esta charla vamos a presentar algunos resultados sobre reducción de estructuras poli(co)simplécticas, y a discutir su relación con la reducción de las soluciones en teorías de campos.

En la interpretación Bayesiana/subjetivista de la probabilidad, dado un evento A y una información B, el número P(A|B), "la probabilidad de A dado B," representa el "grado de creencia" o "de confianza" que tiene un observador sobre la ocurrencia del evento A en base a la información B. A mediados del siglo pasado, R.T. Cox propuso una serie de axiomas que deberían cumplir los números P(A|B). Sorprendentemente, estos axiomas implican, entre otras cosas, los axiomas de Kolmogorov para las funciones P(·|B), para todo B. También implican el Teorema de Bayes, un resultado central para la idea de inferencia estadística. El punto es que este último teorema no se cumple en sistemas cuánticos, lo cual nos lleva a la pregunta: ¿cuáles serían los axiomas que rigen los "grados de creencia" en estos sistemas? En esta charla vamos a repasar los conceptos y resultados arriba mencionados, y mostraremos una fórmula que podría dar lugar a un método de inferencia estadística para la mecánica cuántica. 

"Todo es una subvariedad lagrangiana" 

(credo simpléctico de Alan Weinstein)

La geometría simpléctica, y en particular la teoría de subvariedades lagrangianas,  tiene importantes  aplicaciones en  física matemática,  sistemas dinámicos,  geometría algebraica,  sistemas integrables,  ecuaciones den derivadas parciales,  cuantización, etc, y también, como veremos, con la integración geométrica.  En esta conferencia, utilizaremos herramientas geométricas, en particular, la noción de subvariedad lagrangiana  de variedades simplécticas, para derivar, de forma sistemática, integradores numéricos que preserven algunas estructuras geométricas relevantes (como la simplecticidad, las estructuras de Poisson,  simetría, la aplicación momento…). 

Referencias: 

• Barbero-Liñán, M., Marrero, J.C., y Martın de Diego, D. From retraction maps to symplectic-momentum numerical integrators. arXiv:2401.14800

• Barbero-Liñán M. y Martın de Diego, D. Presymplectic integrators for optimal control problems via retraction maps, APCA International Conference on Automatic Control and Soft Computing, 735-745

• Barbero-Liñán M. y Martın de Diego, D. Mapas de retracción: un germen de integradores geométricos. Found. Comput. Math. Volumen 23, páginas 1335-1380, (2023)

• Barbero-Liñán M. , Martın de Diego, D. and Sato Martín de Almagro, Rodrigo T. A new perspective on symplectic integration of constrained mechanical systems via discretization maps. arXiv:2306.06786  

• Simoes AA., Barbero-Liñán M, Colombo L., Martín de Diego, D: Higher-order retraction maps and construction of numerical methods for optimal control of mechanical systems 2023  62nd IEEE Conference on Decision and Control (CDC), 3288-3295

Se presentan resultados concernientes a la formulación de dualidad T en el fibrado cotangente del grupo de Lie doble asociado a una biálgebra de Lie equipada con estructuras producto y cuasi compleja. Se relacionan estos resultados con ideas recientes sobre la formulación general de la dualidad T en términos de estructuras para-Hermíticas y de Born.

Usando un sencillo resultado que afirma que dinámica de evolución es dinámica de Reeb  de un sistema cosimpléctico, presentamos el proceso que nos permite desarrollar la reducción de la dinámica de evolución de un sistema Hamiltoniano cosimpléctico con aplicación momento. De paso veremos una generalización del Teorema de reducción  de Albert de variedades cosimplécticas.

Al tratar con sistemas mecánicos discretos forzados con simetría no es usual que exista "un momento conservado". Sin embargo esto puede ocurrir y, en ese caso, aparece la posibilidad de aprovechar esta conservación para realizar un proceso de reducción. Además, haciendo uso de este resultado se puede plantear la reducción de un sistema discreto no holónomo de modo que la dinámica del sistema reducido esté descripta por un integrador variacional.