7 novembre 2025 (salle 16-26-113)
14h: M. Archita (Université d'Anvers).
R-triviality of groups of proper projective similitudes.
For a quadratic form q over a field of characteristic different from 2, we study whether its group of proper projective similitudes PSim⁺(q) is R-trivial. This was already known to be true when q is a tensor product of a Pfister form with a form of odd dimension. Pfister forms are forms of splitting height 1. We extend this result and show that PSim⁺(q) is also R-trivial for any odd multiple of a form of height 2. We further provide new examples of quadratic forms q such that PSim⁺(q) is not R-trivial. In particular, we find such an example over C(X,Y,Z). This is joint work with K. J. Becher.
15h30: Zhenghui Li (Sorbonne Université).
On p-torsions of geometric Brauer groups.
Let X be a smooth projective irreducible variety over a finitely generated field k of characteristic p>0. We show that the finiteness of the exponent of the p-primary part of the geometric Brauer group is equivalent to the Tate conjecture for divisors, generalizing D'Addezio's theorem for abelian varieties to arbitrary smooth projective varieties. In this talk, I will also explain how syntomic cohomology is used to prove such a statement. This is a joint work with Yanshuai Qin.
10 octobre 2025 (salle 16-26-113)
14h: Melvyn El Kamel Meyrigne (Ecole Polytechnique).
Tate-Shafarevich group of a constant group of multiplicative type over a finite extension of Q((x_1,...,x_n)).
Let K be a finite extension of Q((x_1,...,x_n)) and let R be the integral closure of Q[[x_1,...,x_n]] in K with residue field k. Consider a group of multiplicative type G defined over K. We define the Tate-Shafarevich group with respect to the points of codimension 1 of Spec(R). We show the finiteness of a quotient of the Tate-Shafarevich group when G comes from a group of multiplicative type G_k defined over k provided that a geometrical hypothesis on the special fiber of a regular model of Spec(R) is satisfied. We then prove that the Tate-Shafarevich group is trivial when the ring of integers R is regular. Finally, we show how the arguments used can be adapted to work over other kinds of fields.
15h30: Harry Shaw (University of Bath).
The existence of quartic del Pezzo surfaces over global function fields which do not admit a quadratic point.
Creutz and Viray have recently proven the existence of quartic del Pezzo surfaces over Q which do not admit a quadratic point, despite every such surface admitting a quadratic point over any local field. We prove the analogous result over global function fields. This is joint work with Giorgio Navone, Katerina Santicola and Haowen Zhang.
9 mai 2025 (Sorbonne Université, salle 15-16-413)
14h: Bianca Gouthier (Heinrich-Heine University Düsseldorf).
Actions rationnelles infinitésimales sur les courbes.
Pour tout $k$-schéma en groupes fini $G$ agissant rationnellement sur une $k$-variété $X$, si l'action est génériquement libre, alors la dimension de $Lie(G)$ est majorée par la dimension de la variété.
Cette inégalité s'avère être une condition suffisante pour l'existence de telles actions, lorsque $k$ est un corps parfait de caractéristique positive et que $G$ est infinitésimal commutatif trigonalisable.
Dans cet exposé, nous nous spécialiserons dans le cas où $X$ est une courbe. Tout d'abord, nous donnerons une description explicite de tous les schémas en groupes infinitésimaux commutatifs unipotents $G$ avec une action rationnelle génériquement libre sur $X$ lorsque $k$ est algébriquement clos. Nous verrons ensuite comment ces actions peuvent être construites, en nous concentrant sur le cas où $G$ est la $p$-torsion d'une courbe elliptique supersingulaire.
15h30: Vlerë Mehmeti (Sorbonne Université et ENS Ulm).
Principes locaux-globaux et l'u-invariant des corps de fonctions de courbes.
Dans cet exposé, je parlerai de principes locaux-globaux obtenus en travaillant avec des espaces analytiques non archimédiens et la technique du patching. En s'appuyant sur des considérations locales dans le cas des formes quadratiques, on peut alors obtenir des bornes supérieures pour l'u-invariant des corps de fonctions de courbes. Je présenterai également des généralisations récentes obtenues grâce à cette approche, en collaboration avec K.J. Becher et N. Daans.
25 avril 2025 (Sorbonne Université, salle 16-26-113)
14h: Stefan Gille (University of Alberta).
Rost nilpotence and direct sums of Chow motives.
Given two motives M and N satisfying Rost nilpotence, does also their direct sum satisfy Rost nilpotence? Via the blow-up formula this question is in characteristic zero closely related to the problem of whether Rost nilpotence is a birational invariant.
In the first part of my talk I will recall Rost nilpotence and its use, and then introduce a stronger version of this property which is 'additive'. It turns out that the -- here so called -- strong Rost nilpotence property holds for all varieties for which Rost nilpotence is known.
15h30: Alec Shute (University of Bristol).
Local solubility of generalised Fermat equations.
I will discuss recent work with Peter Koymans, Ross Paterson and Tim Santens in which we determine, for every positive integer n, an asymptotic formula for the number of integer triples (a,b,c) of bounded height such that the equation ax^n + by^n + cz^n = 0 is everywhere locally soluble. Our result is compatible with conjectures of Loughran Smeets and Loughran, Rome, Sofos on everywhere local solubility in fibrations.
28 mars 2025 (Ecole polytechnique, salle de séminaire du CMLS)
11h: Anis Zidani (Christian-Albrechts-Universität zu Kiel).
Arithmétique des schémas en groupes de Bruhat-Tits sur les anneaux de Dedekind semi-locaux.
Soit un groupe réductif G sur K = Frac(R), on dit que P est un schéma en groupes de Bruhat-Tits sur R si, pour tout idéal maximal m de R, P est de Bruhat-Tits (au sens usuel) sur la complétion de R par m.
Dans notre situation, un schéma en groupes de Bruhat-Tits sur un DVR complet peut être un schéma en groupes parahorique, stabilisateur d'un point, ou même le modèle de Néron lft d'un tore, ou des schémas en groupes encore plus exotiques.
La question clé de l'exposé est de comprendre quand l'application H^1(R,P) --> H^1(K,G) est injective.
Cette question a été initialement posée par Bayer et First pour leurs études sur les groupes classiques et les ordres héréditaires.
La célèbre conjecture de Grothendieck-Serre sur R (démontrée par Nisnevich et Guo) est le cas particulier où P est réductif sur R.
Nous posons d'abord les bases de l'étude de la question, puis démontrons que l'application est toujours injective lorsque G est semi-simple simplement connexe (pour tout P).
Nous donnons également quelques contre-exemples lorsque l'injectivité n'est pas réalisée.
Nous donnons également une preuve simplifiée de la conjecture de Grothendieck-Serre sur R, preuve qui s'inscrit donc davantage dans une approche immobilière.
14h: Sam Streeter (University of Bristol).
Semi-integral points on toric varieties.
I will report on recent joint work with Alec Shute in which we establish asymptotics for “semi-integral” (Campana and Darmon) points of bounded height on Campana orbifolds. Our work supports Manin-type conjectures of Pieropan—Smeets—Tanimoto—Várilly-Alvarado and Chow—Loughran—Takloo-Bighash—Tanimoto in this setting. Of particular interest is the appearance of the so-called “Campana Brauer group” in the leading constant.
15h30: Anna Cadoret (Sorbonne Université).
Trivial locus of l-adic local system.
We will discuss and provide evidence for the following consequence of the unramified Fontaine-Mazur conjecture. Let X be a variety over a number field and V a l-adic local system on X. If there exists a closed point x on X such that the pull-back x^*V is finite (viz the corresponding Galois rep has finite image) then V itself is finite. We obtain partial results, using a mix of (variational) p-adic Hodge theory and companions plus a "point-wise to global" principle for the properties of being unramified and tamely ramified. This is a joint work with Akio Tamagawa.
7 février 2025 (Sorbonne Université, salle 16-26-113)
14h: Raphaël Ruimy (Università degli Studi di Milano).
Conditions de finitude et descente pour les motifs étales.
La catégorie des motifs étales s'obtient à partir de la catégorie des motifs de Voevodsky en imposant la descente étale. Cisinski et Déglise ont défini deux conditions de finitudes cette catégorie : être géométrique et être constructible (i.e. dualisable sur une stratification du schéma de base). Cette dernière condition mime la définition classique des faisceaux constructibles sur le petit site étale.
Dans un travail en commun avec Tubach, on démontre que les deux conditions donnent la même catégorie lorsque l’anneau des coefficients est régulier. Pour démontrer ce résultat, on se ramène au cas où le schéma de base est un corps en utilisant le formalisme des six foncteurs et la continuité. On utilise ensuite des résultats sur les motifs d’Artin qui reposent sur un théorème de Balmer et Gallauer sur les représentations des groupes finis.
Notre résultat permet de démontrer que les motifs géométriques vérifient la h-descente et l’excision de Milnor. On s'attend à ce qu’ils vérifient la descente pour la topologie des arcs par analogie avec un résultat de Bhatt et Matthew.
15h30: Jean-Louis Colliot-Thélène (CNRS, Université Paris-Saclay).
Sur la rationalité des variétés fibrées en quadriques sur la droite projective réelle.
On demande si une telle variété projective et lisse sur les réels est (stablement) birationnelle à l'espace projectif dès que l'espace topologique de ses points réels est connexe. Pour les familles de coniques, c'est un fait classique. L'exposé porte sur les familles de surfaces quadriques. Nous donnons des contre-exemples à la rationalité stable, via le groupe de Brauer. Lorsque toutes les fibres géométriques sont intègres, la question de la rationalité stable est ouverte. Pour la rationalité, la méthode des jacobiennes intermédiaires intermédiaires (Hassett-Tschinkel, Benoist-Wittenberg) donne des contre-exemples. Dans un travail avec Alena Pirutka, nous nous intéressons à des familles d'apparence très simple pour lesquelles aucune de ces méthodes ne fonctionne. Pour celles-ci, nous décrivons un invariant qui décide si la variété est universellement $CH_{0}$-triviale (condition plus faible que la rationalité stable). Par deux méthodes complémentaires, l'une utilisant les sommes de carrés, l'autre la multiplication complexe, nous obtenons de nombreuses classes de telles variétés qui sont universellement $CH_{0}$-triviales. Le problème sur les réels reste ouvert, mais A. Pirutka et O. Benoist ont utilisé l'invariant pour donner une réponse négative à la version naturelle du problème sur un corps réel clos (non archimédien).
10 janvier 2025 (Sorbonne Université, salle 16-26-113)
14h: Zhizhong Huang (Chinese Academy of Sciences, Beijing).
Approximation forte quantitative pour les formes quadratiques quaternaires
Soient $q$ une forme quadratique quaternaire non-dégénérée à coefficients entiers dont le discriminant n'est pas un carré, et $W^o$ le cône quasi-affine au-dessus de la surface projective définie par $q$. Colliot-Thélène et Xu ont montré que l'obstruction de Brauer-Manin est la seule pour l'approximation forte sur $W^o$. On établit une version quantitative de cette propriété, basée sur la méthode du cercle développée par Heath-Brown. Ceci complète un travail de Lindqvist. Travail en commun avec D. Schindler (Göttingen) et A. Shute (Bristol).
15h30: Raman Parimala (Emory University, Atlanta).
Hasse principle over semiglobal fields
Several theorems on the Hasse principle for homogeneous spaces over number fields also hold in the context of function fields of p-adic curves. Semiglobal fields are function fields of curves over complete discrete valued fields. Hasse principle for projective homogeneous spaces under reductive groups holds over semiglobal global fields with respect to its divisorial discrete valuations under some assumptions on the residue field characteristic.
We shall survey results in this direction. (Joint with Philippe Gille).
13 décembre 2024 (Sorbonne Université, matin : salle 15-16-413, après-midi : 15-16-201)
11h: Konstantinos Kartas (Institut Max-Planck, Bonn).
On geometrically C1 fields
A field k is called geometrically C1 if every smooth projective separably rationally connected k-variety has a k-rational point. Given a henselian valued field of equal characteristic 0 with divisible value group, we show that the property of being geometrically C1 lifts from the residue field to the valued field. We also prove that algebraically maximal valued fields with divisible value group and finite residue field are geometrically C1. As a special case, any maximal totally ramified extension of any local field is geometrically C1 and also C1. This is, in a way, complementary to a classical theorem of Lang which says that the maximal unramified extension of any local field is C1.
14h: Azur Đonlagić (Université Paris-Saclay).
Brauer-Manin obstructions on homogeneous spaces of affine algebraic groups over global function fields
Given a family of varieties X over a global field k, one is interested in the sufficiency of the Brauer-Manin obstruction to explain the possible failure of the Hasse principle and weak/strong approximation of adelic points on X. Let G be an affine algebraic group G over k, and our family of interest - the principal homogeneous spaces X of G.
In 1981, Sansuc proved this sufficiency for connected G over a number field k by reduction to the case of a torus and an application of Poitou-Tate duality. Since then, arithmetic duality theorems have proven useful in the study of similar problems.
In this lecture, we briefly recall the significant generalization by Rosengarten of the Poitou-Tate theory to all commutative affine algebraic groups G over a global field k of any characteristic. Then we explain how this theory allows us to extend the stated Brauer-Manin results to (the principal homogeneous spaces of) all such G, not necessarily smooth or connected, highlighting the difficulties which appear in the case when k is a global function field.
15h30: Kirill Zainoulline (Université d'Ottawa).
Motivic Lefschetz theorem for twisted Milnor hypersurfaces
We show that the Grothendieck-Chow motive of a smooth hyperplane section $Y$ of an inner twisted form $X$ of a Milnor hypersurface splits as a direct sum of shifted copies of the motive of the Severi-Brauer variety of the associated cyclic algebra $A$ and the motive of its maximal commutative subfield $L\subset A$. Hence, we provide a new family of examples of motivic decompositions of anisotropic algebraic varieties associated to linear algebraic groups. This family is closely related to several known examples of motivic decompositions: of a twisted del Pezzo surface of degree 6, of a Merkurjev-Suslin variety, and of an Hermitian quadric. The proof is based on new techniques involving computation of the (monodromy) Galois action on the torus-equivariant Chow group (cohomology) of $Y_L$ via the (GKM) localization approach. This is a joint work with Rui Xiong.
15 novembre 2024 (Ecole Polytechnique, salle de séminaire du CMLS)
11h: Michael Stoll (Université de Bayreuth).
Conjectural asymptotics of prime orders of points on elliptic curves over number fields
Define, for a positive integer $d$, $S(d)$ to be the set of all primes $p$ that occur as the order of a point $P \in E(K)$ on an elliptic curve $E$ defined over a number field $K$ of degree $d$. We discuss how some plausible conjectures on the sparsity of newforms with certain properties would allow us to deduce a fairly precise result on the asymptotic behavior of $\max S(d)$ as $d$ tends to infinity.
This is joint work with Maarten Derickx.
14h: Adam Morgan (University of Cambridge).
Hasse principle for intersections of two quadrics via Kummer surfaces
I will discuss recent work with Skorobogatov in which we establish the Hasse principle for a broad class of degree 4 del Pezzo surfaces (including all those with irreducible characteristic polynomial), conditional on finiteness of Tate--Shafarevich groups of abelian surfaces. A corollary of this work is that the Hasse principle holds for smooth complete intersections of two quadrics in P^n for n\geq 5, conditional on the same conjecture. This was previously known by work of Wittenberg assuming both finiteness of Tate--Shafarevich groups of elliptic curves and Schinzel's hypothesis (H).
I will also discuss forthcoming work with Lyczak which, again under the Tate--Shafarevich conjecture, shows that the Brauer--Manin obstruction explains all failures of the Hasse principle for certain degree 4 del Pezzo surfaces about which nothing was known previously.
15h30: Emiliano Ambrosi (Université de Strasbourg).
Un critère d'Artin et Mumford pour les fibrés en coniques en caractéristique 2
Dans les années 70, Artin et Mumford ont montré un critère d'irrationalité pour un fibré en coniques sur un corps de caractéristique différente de 2 et ils ont construit des exemples sur lesquels il peut être utilisé.
Dans un travail en cours avec Giuseppe Ancona, on prouve un analogue en caractéristique 2 et on trouve des exemples auxquels s'applique.
11 octobre 2024 (Sorbonne Université, salle 16-26-113)
14h: Tim Santens (University of Cambridge).
The unramified Brauer group of a stack.
(j. w. w/ D. Loughran). I will give a new definition of the unramified Brauer group of stack and discuss some properties of this definition, such as a new version of the purity theorem. I will then specialise the definition to the case of the stack BG for a finite group G, in which case it recovers the unramified Brauer group of a homogenous space with stabilizer G.
15h30: Jing Liu (Université de Lyon 1 et SUSTech).
Integral Springer theorem for quadratic lattices over Dedekind domain.
The classical Springer theorem says that a quadratic form f is represented by another form g over a field if f is represented by g over a finite base extension of odd degree. Integral versions of this theorem has been established for indefinite quadratic forms over number fields. In this talk, I will present an extension of this result to general Dedekind domains. This is a joint work with Yong Hu and Fei Xu.
7 juin 2024 (Sorbonne Université, salle 16-26-113)
Cette séance sera la dernière de cette année scolaire. Nous reprendrons le séminaire en septembre ou octobre.
14h: Ronan Terpereau (Université de Lille).
Sous-groupes algébriques connexes maximaux du groupe de Cremona réel.
Dans cet exposé, nous expliquerons comment nous avons pu obtenir une classification (complète ?) des sous-groupes algébriques connexes maximaux du groupe de Cremona réel en rang 3, en déterminant les formes réelles rationnelles de certains espaces fibrés de Mori complexes. Ce travail a été réalisé en collaboration avec Susanna Zimmermann.
15h30: Baptiste Calmès (Université d'Artois).
K-théorie hermitienne: un nouveau cadre.
La K-théorie hermitienne sert à classifier des formes de natures variées: quadratiques, bilinéaires symmétriques, etc. Elle peut également servir d'invariant de la base sur laquelle ces formes sont définies. À ce titre, elle raffine la K-théorie. Après une introduction générale et aussi accessible que possible au nouveau formalisme qui définit la K-théorie hermitienne dans le cadre des ∞-catégories stables, j'illustrerai comment il s'emploie pour résoudre des problèmes classiques de la matière comme le calcul la K-théorie hermitienne des entiers. Travail en commun avec E. Dotto, Y. Harpaz, F. Hebestreit, M. Land, K. Moi, D. Nardin, T. Nikolaus et W. Steimle.
26 avril 2024 (Sorbonne Université, salle 15-16-413 le matin, 15-25-102 l'après-midi)
11h: Domenico Valloni (EPFL).
Noether’s problem in mixed characteristic.
Let k be a field and let V be a linear and faithful representation of a finite group G. The Noether problem asks whether V/G is a (stably) rational variety over k. It is known that if p=char(k)>0 and G is a p-group, then V/G is always rational. On the other hand, Saltman and later Bogomolov constructed many examples of p-groups such that V/G is not stably rational over the complex numbers.
The aim of the talk is to study what happens over a discrete valuation ring R of mixed characteristic (0,p). We show for instance that for all the examples found by Saltman and Bogomolov, there cannot exist a smooth projective scheme over R whose special, respectively generic fibre are stably birational to V/G. The proof combines integral p-adic Hodge theory and the study of differential forms in positive characteristic.
14h: Giancarlo Lucchini Arteche (Université du Chili).
Principes de transfert et la Conjecture II de Serre.
La Conjecture II de Serre établit que si K est un corps de dimension cohomologique inférieure ou égale a 2, alors tout torseur sous un K-groupe semisimple et simplement connexe est trivial. Cette conjecture a été démontrée pour plusieurs familles de corps, ainsi que pour plusieurs familles de groupes, mais elle reste ouverte en toute généralité. L'approche usuelle pour les cas qui restent consiste à "réduire la structure" d'un torseur, en montrant qu'il provient d'un torseur sous un sous-groupe pour lequel la conjecture aurait déjà été traité.
Dans un travail en collaboration avec Diego Izquierdo, on se propose de "réduire la structure" des corps plutôt que celle des groupes impliqués. Pour ce faire, on a proposé quelques "principes de transfert" en cohomologie galoisienne. Il s'agit d'énoncés concernant la construction de corps à dimension cohomologique bornée à partir d'autres corps a priori plus compliqués. Dans cet exposé, on présentera deux de ces principes qui ont permis de réduire la Conjecture II de Serre au cas des corps dénombrables de caractéristique 0.
15h30: Damaris Schindler (Université de Goettingen).
Generalised quadratic forms over totally real number fields.
We introduce a new class of generalised quadratic forms over totally real number fields, which is rich enough to capture the arithmetic of arbitrary systems of quadrics over the rational numbers. We explore this connection through a version of the Hardy-Littlewood circle method over number fields. This is joint work with Tim Browning and Lillian Pierce.
29 mars 2024 (Sorbonne Université, salle 16-26-113)
14h: Federico Scavia (Université Sorbonne Paris Nord).
Produits de Massey en cohomologie galoisienne.
Une conjecture de Minac et Tan prédit que tous les produits de Massey dans la cohomologie modulo p des groupes de Galois absolus sont "aussi triviaux que possible". Je discuterai de la preuve de la conjecture pour les produits de Massey de quatre éléments. Il s'agit d'un travail en commun avec Alexander Merkurjev.
15h30: Julian Lawrence Demeio (University of Bath).
The Grunwald Problem for solvable groups.
Let $K$ be a number field. The Grunwald problem for a finite group (scheme) G/K asks what is the closure of the image of $H^1(K,G) \to \prod_{v \in M_K} H^1(K_v,G)$. For a general $G$, there is a Brauer—Manin obstruction to the problem, and this is conjectured to be the only one. In 2017, Harpaz and Wittenberg introduced a technique that managed to give a positive answer (BMO is the only one) for supersolvable groups. I will present a new fibration theorem over quasi-trivial tori that, combined with the approach of Harpaz and Wittenberg, gives a positive answer for all solvable groups.
This is work in progress. Partial results were also obtained independently by Harpaz and Wittenberg.
1er mars 2024 (Ecole Polytechnique, salle de séminaire du CPHT)
11h: Felipe Gambardella (Ecole Polytechnique).
Réoccurrence sur les corps globaux géométriques.
Récemment, l’arithmétique de divers corps, appelés corps globaux géométriques, a gagné de l'intérêt en raison de sa similitude avec celle de corps de nombres. Quelques exemples sont les corps de fonctions des courbes sur les séries de Laurent C((t)) ou les extension finies de C((x,y)). Motivé par ces similitudes et l'utilité du théorème de Chebotarev nous avons étudié un phénomène de réoccurrence sur ces corps. Ce phénomène peut s’interpréter comme une version faible du théorème de Chebotarev.
Dans cet exposé je vais vous présenter un résultat de réoccurrence sur les corps globaux géométriques et une application de ce résultat à l'approximation très faibles des espaces homogènes à stabilisateur géométrique fini.
14h: Ivan Rosas (Université de Bourgogne).
Décomposition de motifs étale : degré étale et 0-cycles.
En utilisant la catégorie triangulée des motifs étales sur un corps, nous définissons le groupe CH_0^\et(X) comme un analogue étale des 0-cycles d'une variété projective lisse sur k, afin d'obtenir un refinement de la décomposition de motifs avec des coefficients intégraux. Dans cet exposé, nous définirons la version étale de l'application degré et donnerons quelques exemples de variétés projectives lisses sur un corps de dimension cohomologique 1 sans 0-cycles de degré un mais avec un 0-cycles étale de degré 1. Nous présenterons également quelques exemples non triviaux où il n'existe pas des 0-cycles étale de degré 1.
15h30: Olivier Benoist (ENS Ulm).
Dimension cohomologique de corps de fonctions méromorphes.
Je démontrerai que le corps des fonctions méromorphes au voisinage d'un compact Stein de dimension n (par exemple de la boule unité fermée dans C^n) a dimension cohomologique n. J'expliquerai une application aux variantes analytiques du 17ème problème de Hilbert.
2 février 2024 (Sorbonne Université, salle 16-26-113)
14h: Jean-Pierre Tignol (Université catholique de Louvain).
Invariants de Witt des algèbres à involution de bas degrés
Sur le même modèle que l’invariant cohomologique de degré 4 défini par Serre pour les algèbres simples centrales de degré 4, on associe à toute involution symplectique sur une algèbre simple centrale de degré 8 sur un corps de caractéristique 2 une 3-forme quadratique de Pfister et une 5-forme quadratique de Pfister qui détiennent des informations sur la structure de l’algèbre à involution. La même construction associe une 2-forme quadratique de Pfister et une 4-forme quadratique de Pfister à toute involution unitaire et une quasi 1-forme quadratique de Pfister et une 3-forme quadratique de Pfister à toute involution orthogonale sur une algèbre simple centrale de degré 4.
15h30: Quang-Duc Dao (Sorbonne Université).
Local-global principles for integral points on Markoff-type cubic and K3 surfaces.
In this talk, inspired by recent works of Ghosh–Sarnak, Loughran–Mitankin, Colliot-Thélène–Wei–Xu, and Fuchs–Litman–Silverman–Tran, I will present some recent results on the Brauer–Manin obstruction to local-global principles for integral points on affine Markoff-type cubic and K3 surfaces along with some counting results in this context. If time permits, I will also discuss some further questions and directions.
15 décembre 2023 (Ecole Polytechnique, salle de séminaire du CMLS)
11h: Vincent Maillot (Sorbonne Université).
Un peu d'algèbre linéaire et quadratique en géométrie d'Arakelov.
Il y a quelques années, j'avais proposé avec D. Rossler une série d'énoncés (toujours conjecturaux a ce jour dans les cas non-abélien) prédisant en particulier les valeurs de certaines classes de Chern arithmétique sur les variétés de Shimura PEL. Dans notre esprit ces identités devaient être universelles, mais des résultats récents dus à Freixas-Sankaran et Yuan ont semblé remettre en cause cet espoir. Nous verrons qu'il n'en est rien, fort heureusement.
14h: Margherita Pagano (Université de Leiden).
The role of primes of good reduction in the Brauer-Manin obstruction to weak approximation.
A way to study rational points on a variety is by looking at their image in the p-adic points. Some natural questions that arise are the following: is there any obstruction to weak approximation on the variety? Which primes might be involved in it? I will explain how primes of good reduction can play a role in the Brauer-Manin obstruction to weak approximation, with particular emphasis on the case of K3 surfaces. I will then explain how the reduction type (in particular, ordinary or non-ordinary good reduction) plays a role.
15h30: Boris Kunyavskii (Bar-Ilan University).
Violation des principes locaux-globaux pour la rationalité et pour la linéarisabilité.
Dans la première partie, basée sur la prépublication arXiv:2305.03481, nous montrons que même dans une classe de variétés où l'obstruction de Brauer au principe local-global pour l'existence d'un point rationnel (principe de Hasse) est la seule obstruction, elle peut être insuffisant, même sous une forme plus forte et invariante par changement de base, pour expliquer des contre-exemples au principe local-global pour la rationalité. Nous donnons des exemples de variétés toriques et de surfaces rationnelles sur un corps global arbitraire k chacune desquelles, en absence de l'obstruction de Brauer, est rationnelle partout localement mais n'est pas k-rationnelle.
Dans la deuxième partie, basée sur le travail en progrès (en collaboration avec Jean-Louis Colliot-Thélène), pour tout corps global k et tout n ≥ 3 nous donnons un exemple d'involution birationnelle de P^n_k ( = un élément g d'ordre 2 dans le groupe de Cremona Cr(n,k)) telle que
g n'est pas linéarisable ;
g est linéarisable dans tout Cr(n,k_v).
17 novembre 2023 (Sorbonne Université, salle 15-25-104)
14h: Mikhail Borovoi (Tel-Aviv University).
Galois cohomology of a reductive group over a global field.
Let F be a number field (say, the field of rational numbers Q) or a p-adic field (say, the field of p-adic numbers Q_p), or a global function field (say, the field of rational functions of one variable over a finite field F_q). Let G be a connected reductive group over F. One needs the first Galois cohomology set H^1(F,G) for classification problems in algebraic geometry and linear algebra over F. In the talk, I will give closed formulas for H^1(F,G) when F is as above, in terms of the algebraic fundamental group \pi_1(G) introduced by the speaker (and also by Merkurjev and Colliot-Thélène). I will also give a formula for H^2(F,T) where T is an F-torus, in terms of the cocharacter group of T. (Based on joint work with Tasho Kaletha https://arxiv.org/abs/2303.04120.)
15h30: Mattia Pirani (Université de Pise).
Flasque quasi-resolutions and the (non-)surjectivity of the evaluation map.
Let k be a field of characteristic zero. Let X be a homogeneous space under a connected linear k-algebraic group with connected stabilizer. Fixed a smooth compactification X_c of X, we can consider a universal torsor over X_c under an algebraic torus S. This torsor induces a map from the k-points of X_c to the first Galois cohomology group H^1(k,S), by evaluation. In 2006, Colliot-Thélène and Kunyavskii established that S is a flasque torus and that, over a 'good' field, the evaluation map is surjective.
In analogy to flasque resolutions of connected linear k-algebraic groups (defined by Colliot-Thélène in 2008), we will introduce flasque quasi-resolutions of homogeneous spaces. This will lead to an evaluation map that coincides, on the k-points of X, with the restriction of the map induced by the universal torsor. We will also show that the surjectivity of this map may fail when the 'good' properties of the field k are no more satisfied.
20 octobre 2023 (Sorbonne Université, salle 15-16-101)
14h30: Alexander Molyakov (ENS Ulm).
Le principe de Hasse pour les intersections de deux quadriques.
Les intersections géométriquement intègres et non coniques de deux quadriques dans l’espace projectif P^n (n > 3) fournissent l’un des premiers exemples non triviaux de variétés géométriquement rationnelles. En 1987 Colliot-Thélène, Sansuc et Swinnerton-Dyer ont démontré le principe de Hasse lisse pour une telle variété sur un corps de nombres quand n > 7, ils ont également conjecturé que le principe de Hasse lisse vaut à partir de la dimension n = 6. Trente ans plus tard, Heath-Brown a établi le principe de Hasse pour les intersections lisses de deux quadriques dans P^7. Cet exposé est consacré aux progrès récents sur ce problème pour les intersections singulières dans P^7.
16h: Loïs Faisant (Institut Fourier).
Phénomènes de stabilisation dans des espaces de modules de courbes : un principe de Batyrev-Manin-Peyre motivique.
Ces dix dernières années, plusieurs résultats de stabilisation dite « motivique » dans certains espaces de modules ont été démontrés, motivés notamment par leur ressemblance à des questions de comptages sur les corps finis (statistiques arithmétiques) ainsi que par un principe de stabilisation homologique connu des topologues algébristes.
Dans cet exposé, on s’intéressera au cas de l’espace de modules des morphismes d’une courbe fixée (par exemple, la droite projective) dans une variété de Fano. Une approche fertile consiste à voir cette étude comme une variante du problème de comptage de points rationnels, suivant le programme initié par Manin et ses collaborateurs dans les années 90. En s’appuyant sur un certain nombre d’exemples (variétés toriques, compactifiés d’espaces vectoriels, fibrations…) et à l’aide de divers outils d’intégration motivique, on formulera des principes de stabilisation pour ces espaces de morphismes.
2 juin 2023 (Ecole Polytechnique).
14h: Sara Mehidi (Institut de Mathématiques de Bordeaux).
Prolongement des torseurs via les log schémas.
On présente ici une approche du problème de prolongement des torseurs définis sur la fibre générique d'une famille de courbes. La question est de prolonger chacun du groupe structural et de l'espace total du torseur au dessus de la famille. L'origine de ce problème remonte aux travaux de Grothendieck, qui, au début des années 1960, a donné une bonne définition du groupe fondamental de variétés algébriques, basée sur la notion de revêtements étales galoisiens. Le problème du prolongement des torseurs sous un groupe constant, d'ordre premier à la caractéristique résiduel, a été résolu. Lorsqu'on est intéressé par les variétés algébriques d'un point de vue arithmétique, il est naturel de considérer des torseurs sous un groupe fini plat non nécessairement constant : on parle de torseurs fppf. On sait déjà par la littérature qu'il y a des cas où le problème n'admet pas de solution. L'idée est alors de chercher une solution dans une catégorie plus large, à savoir, celle des torseurs logarithmiques. On montrera en particulier que l'existence d'un tel prolongement revient à prolonger des schémas en groupes et des morphismes entre eux. Puis, on cherchera à calculer l'obstruction à relever le torseur log prolongé en un torseur fppf. On terminera par un exemple de calcul du prolongement d'un torseur donné sur une courbe hyperelliptique donnée.
15h30: Séverin Philip (RIMS - Kyoto University).
Degré de semi-stabilité des variétés abéliennes et monodromie finie.
Pour une variété abélienne sur un corps de nombres le degré de semi-stabilité est le degré minimal d’une extension du corps de base sur laquelle elle admet réduction semi-stable. On présentera un encadrement du maximum de ces degré à dimension fixée ainsi qu’un principe local-global pour les groupes de monodromie finie, objets essentiels de ce travail.
12 mai 2023 (Sorbonne Université, salle 16-26-113).
14h: Rosa Winter (King's College London).
Weak weak approximation for del Pezzo surfaces of degree 2.
Del Pezzo surfaces are classified by their degree d, and integer between 1 and 9. The lower the degree, the more arithmetically complex these surfaces are. It is generally believed that, if a del Pezzo surface has one rational point, then it has many, and that they are well-distributed. After giving an overview of different notions of "many" rational points and what is known so far for del Pezzo surfaces, I will focus on joint work with Julian Demeio and Sam Streeter where we prove weak weak approximation for del Pezzo surfaces of degree 2 with a general point.
15h30: David Harari (Université Paris-Saclay).
Quelques théorèmes de finitude en cohomologie galoisienne.
D'après un théorème classique de Borel-Serre, l'ensemble de Tate-Shafarevich d'un groupe algébrique linéaire défini sur un corps de nombres est fini. On présentera des extensions de ce résultat à divers corps de fonctions, ainsi que quelques questions et conjectures autour de ces énoncés.
14 avril 2023 (Sorbonne Université, salle 15-16-101).
14h: Harkaran Uppal (University of Bath).
Integral points on symmetric affine cubic surfaces
Many interesting Diophantine geometry problems involve finding integral points on affine surfaces, for example the sum of three cubes problem which states: For n in Z, not congruent to 4 or 5 mod 9 the affine surface
u_1^3+u_2^3+u_3^3=n in A^3_Z (1)
always has an integral point. Colliot-Thélène and Wittenberg showed that the affine surface (1) has no integral Brauer-Manin obstruction for any choice of n in Z. Building on the work of Colliot-Thélène and Wittenberg, I will show the affine surfaces f(u_1)+f(u_2)+f(u_3)=n in A^3_Z have no integral Brauer-Manin obstruction for all but finitely many n in Z.
15h30: Daniel Loughran (University of Bath).
Rational points in families of varieties
Together with Efthymios Sofos and Nick Rome, I have recently formulated a conjecture on counting the number of varieties in family which are everywhere locally soluble. I will explain this conjecture and some known cases, including some work in progress with Julian Lyczak concerning families over the projective line.
10 mars 2023 (Sorbonne Université, salle 24-25-105).
14h: Niels Feld (Université Toulouse III Paul Sabatier).
From motivic homotopy theory to birational geometry: Chow-Witt groups.
In the late 1990s, Voevodsky initiated a unification of algebraic and topological methods. Combining algebraic geometry and homotopy theory, Morel and Voevodsky developed what is now called motivic homotopy theory, the main idea of which was to apply the techniques from classical algebraic topology to the study of schemes (the affine line A1 playing the role of the unit interval [0,1]). The main achievement of this new theory was the proof of Milnor's conjecture by Voevodsky (in particular thanks to Rost's work), which earned him the Fields Medal in 2002.
In this talk, we will start with some general background in motivic homotopy theory, and then present some consequences of the study of Milnor-Witt cycle modules and their associated Chow-Witt groups in birational geometry.
15h30: Francesca Balestrieri (American University of Paris).
Descent and étale-Brauer obstructions for 0-cycles.
We define, in the context of 0-cycles on a smooth projective geometrically integral variety over a number field, analogues of the classical descent set and ´etale-Brauer set for rational points. We then transfer some tools and techniques used to study the arithmetic of rational points into the setting of 0-cycles. For example, we extend the strategy developed by Yongqi Liang, relating the arithmetic of rational points over finite extensions of the base field to that of 0-cycles, to torsors, and we give applications of our results to study the arithmetic behaviour of 0-cycles for Enriques surfaces, universal torsors, and torsors under tori. This is joint work with Jennifer Berg.
10 février 2023 (Ecole Polytechnique, salle de séminaire du CMLS).
11h: Erhard Neher (University of Ottawa).
Springer's Odd Degree Extension Theorem and Scharlau's Norm Principle revisited.
Springer's odd degree extension theorem says that if q is a quadratic form over a field, which becomes isotropic after an odd degree field extension, then q is already isotropic. I will describe a version of this theorem for nonsingular quadratic forms over semilocal rings and odd degree extensions that are etale or generated by one element. I will also discuss Scharlau's norm principle in this setting. The talk is based on joint work with Philippe Gille.
14h: Claudio Bravo (Ecole polytechnique).
Présentations de quelques groupes arithmétiques.
(Travail en collaboration avec Benoit Loisel). Considérons une courbe projective lisse C définie sur un corps F et un point fermé P dans C. Dans cet exposé, on va se pencher sur l'arithmétique d'un schéma en groupes déployé G défini sur l'anneau A des fonctions rationnelles sur C régulières en dehors de P. On présentera notamment une méthode permettant d'obtenir des présentations du groupe de A-points G(A) à l'aide de son action sur certains immeubles de Bruhat-Tits. Etant donné un sous-groupe d'indice fini H de G(A), on verra que cette même méthode permet aussi de dénombrer les classes de H-conjugaison de sous-groupes unipotents maximaux contenus dans H, ainsi qu'une description de ces sous-groupes unipotents maximaux. Si le temps le permet, on donnera une description de quelques groupes de (co)homologie de G(A) obtenus à partir de leurs présentations.
15h30: Nicolas Perrin (Ecole polytechnique).
Courbes rationnelles minimales sur les variétés symétriques complètes.
(travail en cours, en collaboration avec Michel Brion et Shinyoung Kim). Dans cet exposé, j’expliquerai comment utiliser les invariants combinatoires associés aux espaces symétriques, en particulier leurs systèmes de racines restreints, afin de décrire les familles des courbes rationnelles minimales tracées sur les variétés symétriques complètes.
6 janvier 2023 (Sorbonne Université, salle 15-25-102).
14h: Giancarlo Lucchini Arteche (Universidad de Chile).
Empilements de torseurs
Le but de cet exposé est de donner une réponse à la question suivante :
Étant donné deux groupes algébriques lisses et connexes G et H, une variété lisse X, un G-torseur Y --> X et un H-torseur Z --> Y, peut-on trouver une extension E de G par H telle que la flèche composée Z --> X admette une structure de E-torseur ?
Cette question est apparue récemment dans divers contextes, mais malheureusement elle a été traitée à chaque fois de façon "ad hoc". Dans un travail en commun avec Diego Izquierdo et Mathieu Florence, on a fait une étude systématique de cette question, du moins sur un corps de caractéristique 0. On donnera alors dans l'exposé des exemples où la réponse est négative, ainsi que des hypothèses supplémentaires sur les groupes G et H qui font que la réponse soit positive.
15h30: Kestutis Cesnavicius (Université Paris-Saclay).
The Grothendieck--Serre phenomenon over arbitrary base rings
For a reductive group scheme G over a regular local ring R, the Grothendieck--Serre conjecture predicts that no nontrivial G-torsor trivializes over the fraction field of R. I will present a statement of this type that is valid over arbitrary base rings that implies all the known geometric cases of the Grothendieck--Serre conjecture in equal and mixed characteristics via presentation lemmas.
9 décembre 2022 (Ecole Polytechnique, salle de séminaire du CMLS).
11h: Laurent Moret-Bailly (Université de Rennes 1).
Quasi-projectivité des surfaces arithmétiques
J'appelle surface arithmétique un espace algébrique séparé X, de type fini et plat sur Z, à fibres de dimension 1. Je montrerai qu'un tel X est toujours un schéma, et qu'il est souvent quasi-projectif. Il y a des résultats similaires (et aussi des contre-exemples), souvent bien connus, sur d'autres bases de dimension 1, et pour les surfaces sur un corps.
14h: Rachel Newton (King's College London).
Distribution of genus numbers of abelian number fields
Let K be a number field and let L/K be an abelian extension. The genus field of L/K is the largest extension of L which is unramified at all places of L and abelian as an extension of K. The genus group is its Galois group over L, which is a quotient of the class group of L, and the genus number is the size of the genus group. We study the quantitative behaviour of genus numbers as one varies over abelian extensions L/K with fixed Galois group. We give an asymptotic formula for the average value of the genus number and show that any given genus number appears only 0% of the time. This is joint work with Christopher Frei and Daniel Loughran.
15h30: Olivier Wittenberg (Université Sorbonne Paris Nord).
Descente hyper-résoluble pour les points rationnels
Le formalisme aujourd'hui classique de la descente sous des tores introduit par Colliot-Thélène et Sansuc dans les années 1980 admet un analogue dans lequel les tores sont remplacés par des groupes finis hyper-résolubles. J'expliquerai ce formalisme et en discuterai des applications, notamment aux points rationnels des espaces homogènes de groupes linéaires et au problème inverse de Galois avec normes prescrites (généralisation des travaux de Frei-Loughran-Newton). Il s'agit d'un travail en commun avec Yonatan Harpaz.
18 novembre 2022 (Sorbonne Université, salle 15-16-413 le matin, salle 15-25-102 l'après-midi).
11h: Alexei Skorobogatov (Imperial College London).
Le groupe de Brauer des surfaces diagonales génériques
Soit k un corps de caractéristique zéro, et soit K=k(t_1,t_2,t_3) une extension purement transcendante de degré 3. Soit X une surface dans l’espace projectif sur K, donnée par l’équation diagonale de degré d, avec les coefficients 1, t_1, t_2, t_3. Alors l’application naturelle de Br(K) vers Br(X) est un isomorphisme. C’est un travail en commun avec Dámian Gvirtz.
14h: Stefan Schreieder (Leibniz Universität Hannover).
A moving lemma for cohomology with support
We explain that Chow’s moving lemma for algebraic cycles on smooth quasi-projective varieties has an analogue for pairs of a cycle and a homology class supported on the given cycle. This moving lemma generalizes in our setting the effacement theorem, respectively the Gersten conjecture, proven by Quillen, Bloch—Ogus, and Gabber. Several applications will be discussed.
15h30: Elyès Boughattas (Université Sorbonne Paris Nord).
Pureté de l'approximation forte sur le corps des fonctions d'une courbe algébrique complexe
Les théorèmes d'approximation forte, omniprésents en géométrie arithmétique, ont été largement étudiés sur les corps globaux. Mais qu'advient-il lorsque le corps de base, noté k, est un corps de fonctions d'une courbe algébrique complexe ? Cette question a été approfondie au cours de la dernière décennie, à l'aide de méthodes de déformation des courbes algébriques. Au cours de cet exposé, j'aborderai la rémanence de l'approximation forte hors d'un fermé de codimension deux pour les espaces homogènes d'un groupe semi-simple sur k, puis pour certaines intersections complètes affines lisses sur k de bas degré, généralisant de la sorte un résultat de Colliot-Thélène, puis de Chen et Zhu.
21 octobre 2022 (Ecole Polytechnique, salle de séminaire du CMLS).
11h: Haowen Zhang (Sorbonne Université et Ecole Polytechnique).
Weak approximation for homogeneous spaces over C((X,Y)) or C((X))(Y)
We study obstructions to weak approximation for connected linear groups and homogeneous spaces with connected or abelian stabilizers over finite extensions of C((X, Y)) or function fields of curves over C((X)). We show that for connected linear groups, the usual Brauer-Manin obstruction works as in the case of tori, using some dévissage argument. However, this Brauer-Manin obstruction is not enough for homogeneous spaces, and this leads us to somehow combine the Brauer-Manin obstruction with descent obstructions along torsors under quasi-trivial tori. This is another natural tool used in the study of such questions, as done by Izquierdo and Lucchini Arteche for the study of obstructions to the existence of rational points.
14h: Giulio Bresciani (Scuola Normale Superiore di Pisa).
Fields of moduli and arithmetic of quotient singularities
(Joint work with A. Vistoli). Let k be a field with algebraic closure K, assume char k = 0 for simplicity. Given a variety X over K with additional structure (such as marked points, or a polarization), via Galois theory one can define the field of moduli X: loosely speaking, it is the smallest extension of k on which we can hope that X is defined.
Generalizing to higher dimensions a result of Dèbes and Emsalem about curves, we give a condition which ensures that X is defined over its field of moduli. The case in which a marked point is part of the additional structure of the variety is particularly interesting. In dimension 1, as already noted by Dèbes and Emsalem, said result implies that marked curves are always defined over their field of moduli. This is false in dimensions higher than 1.
In order to apply our theorem to pointed varieties of dimension higher than 1, we study the problem of when a rational point of a variety with quotient singularities lifts to a resolution. As an application we give conditions on the automorphism group of a variety X with a smooth marked point p that ensure that the pair (X,p) is defined over its field of moduli.
15h30: Charles De Clercq (Université Sorbonne Paris Nord).
Motifs et traces de Tate des variétés projectives homogènes
On établira la classification complète des motifs de variétés projectives homogènes sous l'action d'un groupe semisimple, à coefficients finis. Le critère obtenu met en jeu une nouvelle famille d'invariants motiviques, les traces de Tate. Nous déduirons ensuite de ce résultat une généralisation de la caractérisation de l'équivalence motivique des groupes semisimples en fonction de leurs p-indices de Tits supérieurs.
30 septembre 2022 (Sorbonne Université, salle 15-25-102).
14h: Michel Brion (Université Grenoble-Alpes).
Groupes algébriques comme groupes d'automorphismes ?
Soit G un schéma en groupes de type fini sur un corps k. Peut-on réaliser G comme un schéma en groupes d'automorphismes Aut_X où X est une k-variété projective ? Dans l'exposé, on présentera une réponse positive partielle : si G est connexe, on peut le réaliser comme la composante neutre d'un tel Aut_X (travail en commun avec Stefan Schröer). La question reste ouverte en général et on donnera d'autres éléments de réponse.
15h30: Mathieu Florence (Sorbonne Université).
Groupes profinis lisses et relèvement de leurs représentations triangulaires
Je présenterai des travaux en cours. En particulier, je fournirai une preuve simple du relèvement mod p^2, des représentations galoisiennes triangulaires mod p d'un corps local $F$, en toute dimension (travail avec Cyril Demarche).
J'expliquerai les grandes lignes d'une démonstration du même énoncé, sur tout corps $F$ (texte bientôt disponible sur arXiv). Il vaut bien plus généralement, pour les représentations d'un groupe profini (1,1)-lisse.
J'expliquerai enfin, comment cet énoncé implique le théorème de Rost-Voevodsky (travail avec Charles De Clercq, bientôt disponible sur arXiv).