5 décembre 2025

14h: Sho Tanimoto (Université de Nagoya).

Homological sieve and Manin’s conjecture.

I present our proofs for a version of Manin’s conjecture over Fq for q large and Cohen-Jones-Segal conjecture over C for rational curves on split quartic del Pezzo surfaces. The proofs share a common method which builds upon prior work of Das-Tosteson. We call this method homological sieve method. The main ingredients of this method are (i) the construction of bar complexes formalizing the inclusion-exclusion principle and its point counting estimates, (ii) dimension estimates for spaces of rational curves using conic bundle structures, (iii) estimates of error terms using arguments of Sawin-Shusterman based on Katz’s results, and (iv) a certain virtual height zeta function revealing the compatibility of bar complexes and Peyre’s constant. Our argument verifies the heuristic approach to Manin’s conjecture over global function fields given by Batyrev and Ellenberg-Venkatesh, and it is a nice combination of various tools from algebraic geometry (birational geometry of moduli spaces of rational curves), arithmetic geometry (simplicial schemes, their homotopy theory, and Grothendieck-Lefschetz trace formula), algebraic topology (the inclusion-exclusion principle and Vassiliev type method of the bar complexes) and some elementary analytic number theory. This is joint work with Ronno Das, Brian Lehmann, and Phil Tosteson with a help by Will Sawin and Mark Shusterman.

15h30: Lucas Lagarde (Université Sorbonne Paris Nord).

Groupe de Brauer non ramifié d'espaces homogènes et problème de Grunwald

Soit X une variété propre, lisse et rationnellement connexe sur un corps k de caractéristique zéro. On sait que le groupe de Brauer de X est fini modulo les constantes. La question de la calculabilité de ce groupe est en revanche un problème ouvert et est en général d'une grande complexité. Dans cet exposé, on s'intéressera au cas où X est une compactification lisse d'un espace homogène de groupe semi-simple simplement connexe à stabilisateur géométrique fini. Dans le cas où ce dernier admet un k-point, on présentera une formule effective afin de calculer le groupe de Brauer au sens fort, i.e. expliciter des relèvements au sein de Br(X) d'éléments de Br(X)/Br(k). Couplé à un résultat de Lucchini Arteche, une conséquence notable sur un corps de nombres est le calcul effectif de l'ensemble de Brauer-Manin d'une telle variété. Pour G un groupe fini hyper-résoluble, e.g. nilpotent, cela implique la décidabilité du fameux problème de Grunwald grâce aux travaux de Harpaz-Wittenberg. On expliquera également comment cette formule permet d'expliciter certains des rares exemples connus d'obstructions de Brauer-Manin transcendantes à l'approximation faible pour de tels espaces homogènes.

13 février 2025

27 février 2025

20 mars 2025

10 avril 2025

22 mai 2025