Valentia Matematica

Veurem el teorema de Szémeredi-Trotter (1983), que s'ha convertit en un resultat fonamental en geometria discreta i compta amb aplicacions a la combinatòria additiva, l'anàlisi harmònica i la teoria geomètrica de la mesura. Donats un conjunt de punts P i un conjunt de línies L a R^2, aquest teorema ens dóna una fita superior per a les possibles incidències de P i L (és a dir, parells (p,l) a P x L amb p a l) en funció de la cardinalitat de P i L. Veurem el resultat i algunes de les seves aplicacions, posant èmfasi en diferents tècniques per abordar problemes d'incidències.

Les equacions d'evolució geomètrica s'han utilitzat des del 1982 per abordar amb èxit qüestions clau com ara la conjectura de Poincaré (únic problema del mil·lenni resolt fins ara) o el teorema de l'esfera diferenciable (2009). Es tracta de modificar cert objecte geomètric segons una versió no lineal de l'equació de la calor, on la curvatura hi juga el paper de la temperatura, tractant que amb el pas del temps s'obtinga una forma òptima, per exemple, curvatura constant. Posarem èmfasi en les tècniques que converteixen aquests fluxos en una poderosa eina en geometria.

La teoria de caracters, introduïda per Burnside i Frobenius a principis del segle XX, és una eina àmpliament utilitzada en la investigació en teoria de grups finits. Un exemple paradigmàtic de la seua utilitat és obtenir la Classificació dels Grups Finits Simples a principis del segle XXI. En aquest curs veurem una introducció a aquesta teoria i a les tècniques que utilitzem avui dia en aquest camp de recerca.