Valentia Matematica

Veremos el teorema de Szémeredi-Trotter (1983), que se ha convertido en un resultado fundamental en geometria discreta y cuenta con aplicaciones a la combinatoria aditiva, el análisis armónico y la teoría geométrica de la medida. Dados un conjunto de puntos P y un conjunto de líneas L en R^2, este teorema nos da una cota superior para las posibles incidencias de P y L (esto es, pares (p,l) en P x L con p en l) en función de la cardinalidad de P y L. Veremos el resultado y algunas de sus aplicaciones, haciendo hincapié en diferentes técnicas para abordar problemas de incidencias.

Las ecuaciones de evolución geométrica se han utilizado desde 1982 para abordar con éxito cuestiones clave como la conjetura de Poincaré (único problema del milenio resuelto hasta la fecha) o el teorema de la esfera diferenciable (2009). Se trata de modificar cierto objeto geométrico según una versión no lineal de la ecuación del calor, donde la curvatura juega el papel de la temperatura, tratando que con el paso del tiempo se obtenga una forma óptima, por ejemplo, curvatura constante. Haremos hincapié en las técnicas que convierten a dichos flujos en una poderosa herramienta en geometría.

La teoría de caracteres, introducida por Burnside y Frobenius a principios del siglo XX, es una herramienta ampliamente utilizada en la investigación en teoría de grupos finitos. Un ejemplo paradigmático de su utilidad es la obtención de la Clasificación de los Grupos Finitos Simples a principios del siglo XXI. En este curso veremos una introducción a esta teoría y a las técnicas que utilizamos hoy en día en este campo de investigación.