Valentia Matematica

Los flujos geométricos se han utilizado con éxito para abordar cuestiones clave en Geometría Diferencial, como las desigualdades isoperimétricas, la conjetura de Poincaré, la conjetura de geometrización de Thurston, el teorema de la esfera diferenciable o, más recientemente, la conjetura generalizada de Smale. Durante este minicurso daremos una introducción intuitiva al flujo de Ricci, que es una especie de versión no lineal de la ecuación del calor para la métrica Riemanniana. La ecuación debe entenderse como una herramienta para deformar canónicamente una variedad hacia otra más uniforme, por ejemplo, con algún tipo de curvatura constante. Pondremos el acento en las características que convierten a las ecuaciones de evolución en una herramienta poderosa en geometría.

¿Cómo generamos, en un ordenador, variables aleatorias? Para algunas variables aleatorias muy concretas (gaussianas, distribuciones uniformes...) disponemos de fórmulas para generarlas eficientemente.

Pero ¿qué ocurre con variables aleatorias generales en dimensiones muy altas? Como ejemplo, podemos intentar generar un elemento de la distribución de posibles fotografías de gatos. Las imágenes de 512px x 512px (con 3 canales de color) son elementos de un espacio de casi un millón de dimensiones.

En este curso aprenderemos algunos de los algoritmos más conocidos para generar variables aleatorias, y veremos la relación de estos métodos con desigualdades funcionales, teoría espectral y ecuaciones en derivadas parciales.

Como aprendimos durante el bachillerato, las ecuaciones de segundo grado en dos variables definen curvas que nos resultan muy familiares: elipses, parábolas e hipérbolas, también llamadas cónicas Por ejemplo, la ecuación 2x^2+3y^2=5 define una elipse. En la primera parte del curso explicaremos cómo describir los puntos sobre una cónica cuyas coordenadas x e y son ambas números racionales. En la segunda parte nos haremos la misma pregunta para las curvas definidas por ciertas ecuaciones de grado tres, llamadas curvas elípticas. Este problema ha fascinado a muchos matemáticos durante siglos y, pese a grandes avances, sigue abierto. Expondremos algunos de los desarrollos más importantes, como el teorema de Mordell-Weil o la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer.