Valentia Matematica

Els fluxos geomètrics s'han utilitzat per a abordar amb èxit qüestiones clau en Geometria Diferencial com les desigualtats isoperimètriques, la conjectura de Poincaré, la conjectura de geometrització de Thurston, el teorema de l'esfera diferenciable o, més recentment, la conjectura generalitzada de Smale. Durant este mini-curs donarem una introducció intuïtiva al flux de Ricci, que és una espècie de versió no lineal de l'equació de la calor per a la mètrica Riemanniana. L'equació ha d'entendre's com una eina per a deformar canònicament una varietat en altra més uniforme, per exemple, amb algun tipus de curvatura constant. Posarem l'accent en les característiques que convertixen a les equacions d'evolució en una poderosa eina en geometria. 

Com generem, en un ordinador, variables aleatòries? Per a algunes variables aleatòries molt concretes (Gaussianes, distribucions uniformes...) tenim fórmules per a generar-les eficientment.

Però què passa per a variables aleatòries generals en dimensions molt altes? Com a exemple, podem intentar generar un element de la distribució de possibles fotografies de gats. Les imatges de 512px x 512px (x3 colors) són elements d'un espai de gairebé un milió de dimensions.

En aquest curs aprendrem alguns dels algorismes més coneguts per a generar variables aleatòries, i veurem la relació d'aquests mètodes amb desigualtats funcionals, teoria espectral, i equacions en derivades parcials. 

Com vam aprendre durant el batxillerat, les equacions de segon grau en dues variables defineixen corbes que ens resulten molt familiars: el·lipses, paràboles i hipèrboles, també anomenades còniques. Per exemple, l’equació 2x^2+3y^2=5 defineix una el·lipse. En la primera part del curs explicarem com descriure els punts sobre una cònica les coordenades x i y dels quals són totes dues nombres racionals. En la segona part ens farem la mateixa pregunta per a les corbes definides per certes equacions de grau tres, anomenades corbes el·líptiques. Aquest problema ha fascinat molts matemàtics durant segles i, malgrat grans avanços, continua obert. Exposarem alguns dels desenvolupaments més importants, com el teorema de Mordell-Weil o la conjectura de Birch i Swinnerton-Dyer.