Numeri amici

Due mercanti medievali, legati da grande amicizia, avevano studiato la struttura dei numeri, le proprietà dei numeri perfetti, i misteri della cabala, e avevano deciso in omaggio a complicate concezioni astrologiche, di operare sempre con numeri che fossero esatti divisori delle loro proprietà. Probabilmente fu questa regola, poco adatta al loro mestiere di mercanti, che li portò alla rovina. Quindi si ritirarono dal commercio, decisero di donare i loro averi e di andare a vivere in un convento. Il primo rimase con 284 fiorini, calcolò i divisori di 284, che sono 1, 2, 4, 71, 142, e dispose di donare un numero di fiorini pari a tali divisori a parenti, amici e benefattori secondo la sua valutazione. Alla fine gli avanzavano ancora 64 fiorini. Al suo amico erano rimasti 220 fiorini. Anch’egli aveva calcolato i divisori del suo avere e aveva trovato che erano 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110. Dispose dei lasciti alle persone care pari ai divisori trovati. Purtroppo si rese conto che gli mancavano ben 64 fiorini. I due mercanti misero a confronto le loro soluzioni e concordarono che era sufficiente scambiarsi gli averi per poter entrambi distribuire i loro fiorini così come avevano calcolato.

Cose di questo tipo capitano soltanto a veri amici, proprio per questo motivo i numeri 220 e 284 sono detti dai matematici “numeri amici”. Dunque, sono amicabili due numeri per i quali la somma dei divisori di uno è proprio l’altro numero, e viceversa. La somma dei divisori di 284 è 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220. La somma dei divisori di 220 è 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 +55 + 110 = 284.Negli ultimi dieci anni la ricerca di numeri amicabili ne ha fatto lievitare la quantità. Al giugno 2006 ne erano noti poco più di 11 milioni, di cui alcuni con migliaia di cifre.

Se un numero è amicabile di se stesso, cioè se la somma dei suoi divisori (escluso il numero stesso) è euguale a se stesso (come il numero 28), è chiamato "numero perfetto".Come vedete i matematici non sono poi così insensibili al fascino della fantasia e delle belle storie. Per convincervi ancora di più ecco alcuni altri numeri affascinanti.

Si dicono “numeri fidanzati” due numeri per i quali la somma dei divisori di un numero (uno escluso) è uguale all’altro numero. Sono fidanzati i numeri 48 e 75. Infatti, i divisori di 48 sono 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24; la loro somma è 75; i divisori di 75 sono 3, 5, 15, 25; la loro somma è 48.

Le coppie di numeri amicabili e le catene di numeri socievoli sono sempre o tutti pari o tutti dispari. Si può osservare, invece, che due numeri fidanzati sono sempre uno pari e l'altro dispari; infatti, Pitagora distinse i numeri pari come femminili e i numeri dispari come maschili. La prima coppia di numeri fidanzati, detti anche promessi sposi, è 48 e 75; la coppia più grande nota oggi invece è 2102750 e 2681019

Si prende un numero, si elevano al quadrato le sue cifre e si sommano i risultati, quindi si ripete l'operazione con il numero ottenuto. Se dopo un po’ di passaggi si raggiunge il numero 1, il numero di partenza è detto “numero felice”. 19 è un numero felice, perché 1+81=82; 64+4=68; 36+64=100; 1+0+0=1.