La curva di Helge von Koch

La Curva di Koch è una delle prime curve frattali di cui si conosca una descrizione.La generazione della curva di Koch avviene grazie all'esecuzione ripetuta di un programma di istruzioni o procedura ricorsiva: è una procedura perché precisamente definita da un numero finito di passi, è ricorsiva perché viene ripetuta meccanicamente. L'algoritmo della curva di Koch è molto semplice, consiste in un ripetizione del ciclo seguente. Partendo da un segmento di determinata lunghezza:

dividere il segmento in tre segmenti uguali;
cancellare il segmento centrale, sostituendolo con due segmenti identici che costituiscono i due lati di un triangolo equilatero;
tornare al punto 1 per ognuno degli attuali segmenti.

Costruzione della curva di Koch:

prima iterazione

Partendo da un segmento, se ne ottengono quindi quattro (costituenti una linea spezzata) nel primo ciclo, 4x4=16 nel secondo ciclo e così via, generando al limite un elegantissimo frattale. Ingrandendo un qualunque dettaglio del frattale si ottiene ancora lo stesso frattale: in questo consiste l'autosomiglianza dei frattali a qualunque livello di scala.

iterazioni successive

In ogni passo della generazione della curva che abbiamo descritto otteniamo una curva continua che possiamo pensare parametrizzata da una funzione continua sull'intervallo [0,1]. Se si definiscono le parametrizzazioni in modo "ragionevole" si ha che la curva corrispondente ad ogni passo differisce dalla curva del passo precedente di quantità via via sempre più piccole. Si può dimostrare che questa successione di curve è una successione di Cauchy nello spazio di Banach delle curve continue su [0,1] e quindi deve convergere ad un punto limite nello spazio delle curve continue, questo limite è la Curva di Koch.

La curva di Koch così definita gode delle seguenti proprietà:

è continua in quanto limite uniforme di funzioni continue, cioè è una curva nel senso matematico del termine;
ha lunghezza infinita: infatti ogni tappa della sua costruzione aumenta la lunghezza totale nel rapporto di 4/3 e la lunghezza della curva limite è evidentemente superiore a tutte le lunghezze delle curve costruite ad ogni passo;
è autosimile: contiene una sua parte che è una trasformazione omotetica della curva intera.
non è derivabile in nessun punto, infatti una curva derivabile in un punto vista su scale sempre più piccole intorno al punto tende ad essere vicina ad una retta (la tangente) passante per quel punto , la curva di Koch invece vista su qualsiasi scala è identica a sé stessa.

Per approfondire, vai al link Curva di von Koch