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Mots clés : marches aléatoires, chaînes de Markov, principe d’entropie maximal, combinatoire analytique, limites d’échelle, problème de sous-martingale, diffusions réfléchies, matrices infinies positives.

Dans cet article, nous établissons des bases solides pour l’étude des Marches Aléatoires Maximales Entropiques (MAMEs) sur les graphes infinis, à l’aide de la théorie des matrices infinies positives de Vere-Jones (1967). Nous introduisons une définition généralisée qui étend le concept original, ainsi que des outils rigoureux pour traiter cette généralisation. Contrairement aux marches aléatoires simples classiques, qui maximisent localement l’entropie, les MAMEs maximisent globalement l’entropie le long de leurs trajectoires, ce qui constitue un changement de paradigme important et présente des défis computationnels considérables. Introduits à l’origine par des physiciens et des informaticiens, les MAMEs

sont liés à des notions telles que les mesures de Parry et les transformations de Doob par h-transform. Notre approche s’attaque aux problèmes d’existence, d’unicité et d’approximation, illustrés par des exemples et des contre-exemples. Même dans le cadre infini, les MAMEs continuent à maximiser le taux d’entropie, quoique de manière moins directe. De plus, nous menons une analyse approfondie des réseaux en toile d’araignée pondérés, incluant des limites d’échelle (diffusions réfléchies, diffusions de Walsh, processus de type Bessel), qui révèlent divers phénomènes caractéristiques du cadre infini, notamment une transition de phase. Une démonstration unifiée des limites d’échelle fondée sur des problèmes de sous-martingales est présentée. En outre, nous considérons certains modèles étendus, où le réseau « en vraie toile d’araignée » offre des perspectives

précieuses, mettant en lumière la complexité de l’étude de ces marches dans le cas général des graphes infinis pondérés.

Mots clés : marches aléatoires, chaînes de Markov, matrices aléatoires, localisation d’Anderson, combinatoire analytique, marches aléatoires en environnements aléatoires, transience.

La Marche Aléatoire Maximale Entropique (MAME) est un processus naturel sur un graphe fini, introduit il y a quelques années avec des motivations issues de la physique théorique. La construction de ce processus repose sur la théorie de Perron–Frobenius appliquée aux matrices d’adjacence. La généralisation aux graphes infinis est plutôt délicate, et dans cet article, nous étudions en détail des modèles spécifiques de MERW sur Z avec des boucles, pour un environnement de boucles déterministe puis

aléatoire. Grâce à une représentation combinatoire explicite des vecteurs propres de Perron–Frobenius correspondants, nous sommes en mesure de déterminer précisément le comportement asymptotique de ces marches : vitesses de fuite strictement positives, transience presque sûre, et absence de localisation (délocalisation).