«Паперові» фізики
Завданням групи «паперових» фізиків є обчислення фізичних задач на рух за допомогою квадратних рівнянь і підтвердження необхідності вивчення данної теми в школі
Задачі на рух
Задача 1. Перший велосипедист щохвилини проїжджає на 50 м менше ніж другий, тому на шлях 120 км він витрачає на 2 години більше, ніж другий. Знайти: швидкість другого велосипедиста (в км за годину)
Розв'язання:
У фразі "Проїжджає щохвилини на 50 метрів менше" захована швидкість 50 м/хв. Оскільки решта даних в км та годинах, то 50 м/хв. приводимо до км/год.
50/1000*60=3000/1000=3 (км/год).
Позначимо швидкість другого велосипедиста через V, а час руху – t. Множенням швидкості на час руху отримаємо шлях
V*t=120.
Перший велосипедист їде повільніше, тому і довше. Складаємо відповідне рівняння руху
(V-3)(t+2)=120.
Маємо систему двох рівнянь з двома невідомими. З першого рівняння виразимо час руху та підставимо у друге
t=120/V; (V-3)(120/V+2)=120.
Після множення на V/2 та групування подібних доданків можна отримати таке квадратне рівняння
V2-3V-180=0.
Обчислюємо дискримінант рівняння
D=9+4*180=729=27*27
та корені
V=(3+27)/2=15;
V=(3-27)/2=-12.
Другий відкидаємо, він не має фізичного змісту. Знайдене значення
V=15 км/год є швидкістю другого велосипедиста.
Задача 2. Від пункту А до пункту В 15 км. Із А в В о 9 год. 30 хв. вирушив пішохід із швидкістю 4 км/год. Наступного дня об 11 год. він вирушив назад і рухався із швидкістю 5 км/год. Кожний раз він проходив по мосту, що знаходився на цій дорозі, в один і той самий час. Визначити показання годинника при проходженні пішоходом мосту.
Ми прийдемо до одного і того ж результату, якщо замість вказаної задачі будемо розв’язувати таку задачу:
Від пункту А до пункту В 15 км. Із А в В о 9 год. 30 хв. відправився пішохід, що йде із швидкістю 4 км/год. В той же день об 11 год. йому назустріч із пункту В вийшов другий пішохід, що йде із швидкістю 5 км/год. Визначити показання годинника в момент зустрічі пішоходів.
До 11 год. перший пішохід пройшов шлях, рівний 1.5*4=6 км. Отже, об 11 год. відстань між пішоходами була 15-6=9 км. Оскільки сумарна швидкість пішоходів 9 км/год., то зустріч пройде рівно о 12 год.
Два тіла, рухаючись по колу в одному й тому ж напрямку, сходяться через кожні 56 хв. Якщо б вони рухались з тими ж швидкостями в протилежних напрямках , то вони б зустрічались через кожні 8 хв. Якщо при русі в протилежних напрямках в деякий момент часу відстань по колу між тілами рівна 40 м, то через 24 сек. вона буде 26 м. Скільки метрів за хвилину проходить кожне тіло і яка довжина кола, якщо відомо, що протягом цих 24 сек. тіла не зустрілись?
Відстань між містами А і В рівна 100 км. З міста А в місто В відправляються одночасно два автомобілі. Перший має швидкість на 10 км/год. більшу, ніж другий, і в дорозі робить зупинку на 50 хв. В яких межах може змінюватися швидкість першого автомобіля при умові, що він прибуває у місто В не пізніше другого автомобіля?
Якщо мандрівник проїжджав би в день на 20 км більше, ніж він проїжджає, то він приїхав би на 8 днів відстань, меншу 1000 км. Якщо ж він проїжджав би в день на 15 км менше, ніж він проїжджає, то за 12 днів він проїхав би більше 1000 км. В яких межах змінюється його денна швидкість?
На роботу
Трава на лузі росте однаково і швидко. Відомо, що 70 корів з’їли б її за 24 дні, а 30 корів – за 60 днів. Скільки корів поїли б всю траву за 96 днів?
Назвемо кількість трави, що з’їдає одна корова протягом дня, порцією. Оскільки 70 корів поїли б всю траву за 24 дні, то 70*24= 1680 порцій складають всю траву, яка була спочатку, і всю траву, яка виросла за 24 дні. Далі, 30 корів за 60 днів 30*60=1800 з’їдають порцій. Оскільки в обох випадках була з’їдена вся трава, яка була спочатку, і та, що виросла ( в перший раз за 24 дні, а у другий – за 60 днів), то 1800-1680=120 порцій виросло за 60-24=36 днів. Таким чином, за 24 дні виросло 120*24/36=320 порцій, а отже, спочатку на лузі було 1680-86=1600 порцій трави. Протягом 96 днів виросло 69*120/36=320 порцій. Таким чином, шукане число корів з’їдає 1600+320=1920 порцій трави. За один день буде з’їдено 192096=20 порцій. Отже, в шуканому стаді 20 корів.
Косарі повинні були скосити два поля. З ранку вони всі разом стали косити велике поле. Після першої половини робочого дня косарі розділились: половина косарів залишилась на великому полі і до кінця дня докосила його. Друга половина перейшла косити інше поле, що у 2 рази менше першого, але не встигла до кінця дня закінчити косовицю. На другий день на це поле вийшов один косар і протягом дня докосив поле. Скільки всього було косарів?
Якщо позначити площу, що скошується за один день через то на великому полі було скошено за першу половину робочого дня S*1/2 а за другу половину дня - S*1/4. Отже, велике поле має площу S*3/4.
Оскільки друге поле у 2 рази менше від більшого, його площа рівна S*3/8. Оскільки на меншому полі в перший день працювала половина косарів півдня, то вони встигли скосити частину поля, що має площу 1/4*S а тому на другий день залишилося скосити S(3/8*1/4)=S*1/8 Але площа S*1/8 була скошена одним косарем за день, тому всього косарів було S*8/S=8.
В басейн може поступати вода через дві труби різної пропускної можливості. Менша труба за 1 с пропускає 1 м3 води. В басейні також є кран, через який може витікати за 1 с 1м3 води. Дізнатись, в яких межах може змінюватись секундна пропускна можливість більшої труби, якщо відомо, що за час від 3 с до 4 с поступило в басейн 16 м3 , причому 10 м3 поступило при одночасній дії обох труб і при закритому крані, а 6 м3 при дії лише більшої труби і відкритому крані.
Двоє робітників, працюючи разом, можуть виконати деяку роботу за 12 годин. Якщо спочатку один робітник виконає половину роботи, після чого другий – остачу, то вони витратять на це 25 год. За скільки годин кожний із них, працюючи окремо, може виконати всю роботу?
Басейн заповнюється двома трубами за 6 год. Одна перша труба заповнює його на 5 год. швидше, ніж одна друга. За скільки часу кожна труба, працюючи окремо, може заповнити басейн?