Дослідники
Завдання 1. Дослідити як виникали рівняння другого та вищих степенів
Вступ:
Алгебра виникла у зв'язку з вирішенням різноманітних задач за допомогою рівнянь. Зазвичай в задачах потрібно знайти одну або декілька невідомих, знаючи при цьому результати деяких дій, вироблених над шуканими і даними величинами. Такі завдання зводяться до вирішення одного або системи кількох рівнянь, до знаходження шуканих за допомогою алгебраїчних дій над даними величинами. В алгебрі вивчається загальні властивості дій над величинами.
Рівняння в Стародавньому Вавилоні
Деякі алгебраїчні прийоми рішення лінійних і квадратних рівнянь були відомі ще 4000 років тому в Стародавньому Вавилоні. Необхідність вирішувати рівняння не тільки першого, але і другого степеня ще в давнину була викликана потребою розв'язувати задачі, пов'язані з перебуванням площ земельних ділянок і з земельними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії і самої математики. Як було сказано раніше, квадратні рівняння вміли розв'язувати близько 2000 років до нашої ери вавилонянами. Застосовуючи сучасні алгебраїчні записи, можна сказати, що в їх клинописних текстах зустрічаються як неповні, так і повні квадратні рівняння.
Правило рішення цих рівнянь, викладене у вавилонських текстах, співпадає по суті з сучасними, проте невідомо, яким чином дійшли вавилоняни до цього правила. Майже всі знайдені досі клинописні тексти призводять тільки завдання з рішенням, викладеними у вигляді рецептів, без вказівок щодо того, яким чином вони були знайдені.
Незважаючи на високий рівень розвитку алгебри у Вавилоні, в клинописних текстах відсутнє поняття від'ємного числа і загальні методи вирішення квадратного рівняння.
Рівняння арабів
Деякі способи вирішення рівнянь як квадратних, так і рівнянь вищих ступенів були виведені арабами. Так відомий арабський математик Ал-Хорезмі у своїй книзі «Ал - Джабар» описав багато способів вирішення різних рівнянь. Їх особливість була в тому, що Ал-Хорезмі застосовував складні радикали для знаходження коренів (рішень) рівнянь. Необхідність у вирішенні таких рівнянь була потрібна в питаннях про розподіл спадщини.
Рівняння в Індії
Квадратні рівняння вирішували і в Індії. Задачі на квадратні рівняння зустрічаються вже в астрономічному трактаті «Аріабхаттіам», складеному в 499 році індійським математиком і астрономом Аріабхаттой. Інший індійський учений, Брахмагупта (VII століття), виклав загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, приведених до єдиної конічній формі:
aх ² + bx = c, де a> 0
У цьому рівнянні коефіцієнти, крім а, можуть бути і негативними. Правило Брахмагупти по суті збігається з нашим.
Завдання 2. Дослідити методи вирішення квадратних рівнянь
1 СПОСІБ: Розкладання лівой частини рівняння на множники
За допомогою розкладання лівої частини на множники знайдемо корені наступного рівняння
х^2 + х - 30=0.
Розкладемо ліву частину на множники:
х^2 + х - 30= х2 + 6х -5х - 30= х(х + 6) - 5(х + 6)= (х + 6)(х - 5).
(х + 6)(х - 5)=0
х + 6=0 або х - 5=0
х= -6 х= 5
Відповідь : х1= -6, х2 = 5
2 СПОСІБ: Метод виділення повного квадрата
Даним методом знайдемо корені рівняння
х^2 + 4х – 21 = 0
Виділемо повний квадрат в лівій частині. Для цього запишем вираз х^2 + 4х в наступному вигляді:
х^2 + 4х = х2 + 2· х ·2.
В отриманому виразу першийй доданок – квадрат числа х, а другий – подвоєнний добудток х на 2. Саме цьому, щоб отримати повний квадрат, необхідно додати 22, так як
х^2 + 2· х ·2 + 22 = (х + 2)^2 .
Перетворимо ліву частину рівняння х^2 + 4х – 21 = 0, додаючи до неї и в той же час віднімая 22. Маємо:
х^2 + 4х – 21 = х2 + 2· х ·2 + 22 – 22 – 21 = (х + 2)^2 – 4 – 21 = (х + 2)^2 – 25
Таким чином, данне рівняння можно записать так:
(х + 2)^2 –25 = 0, т.е. (х + 2)^2 = 25.
З цього слідує, х + 2 = 5, або х +2 = - 5 .
Відповідь: х1 = 3; х2 = -7
3 СПОСІБ. Рішення квадратних рівнянь за формулою.
ax^2+bx+c=0
D=b^2-4ac
x1,2= (-b +- D^1/2)/ 2a
4 СПОСІБ. Графічний
Якщо в рівнянні x^2 + px + q = 0 перенести другий та третій члени в праву частину рівності, то отримаємо:
x^2 = – px – q .
Побудуємо графік залежності
у = х^2 та у = – px – q .
Перший графік – парабола, що проходить через початок координат. Другий графік – пряма.
Ймовірні наступні випадки:
- пряма та парабола можуть перетинатися в двух точках, абсциси точок перетину бдуть коренями квадратного рівняння;
- пряма та парабола можуть дотикатися (мають лише одну спільну точку), тобто рівняння має лише одне рішення
- пряма та парабола не мають спільних точок, тобто рівняння коренів не має
5 СПОСІБ. За т.Вієта
Приведене нижче квадратне рівння можна логко вирішити за т.Вієта. Достаточно знайти такі два числа, щоб їх добуток дорівнював вільному члену, а сума - другому коефіцієнту взятому з протилежним знаком.
Наприклад:
x^2-7x+12=0
Потрібно знайти числа, які при добудту між собой дають 12, а при сумі 7. Таким чином такими числами будуть 3 та 4. Отже х1 = 3, х2 = 4
Завдання 3. Визначити необхідність вивчення теми: «Квадратні рівняння»
При детальному опрацюванні цього питання всі дослідники зійшлись на думці, що тема: «Квадратні рівняння» займає одну с головних ролей вивчення не тільки математики, але й інших наук, зокрема фізики та статистики. Ця тема є необхідноє до опанування, так як є базой для вивчення і дослідження рівнянь набагато вищего степеня ніж «один». Зокрема вона має досить широке застосування не тільки в науках, але й в повсякденному житті для вирішення досить широкого кола завдань.
Саме тому всі дослідники роблять висновок, що ця тема є необхідною до опанування і переходять до більш практичної частини проекту.