Research

大学院進学希望の方に向けたざっくりとした研究紹介文です。少しづつアップデートしていく予定です。

私の現在(~2023年春)の主な研究内容は、シンプレクティック幾何学や代数解析に関連した話題の、層を用いた研究です。

もう少し詳しく述べます：

シンプレクティック幾何や代数解析の、特に、数理物理（ミラー対称性や、もっと広く場の理論）などに関連する問題に興味を抱いています。そして、超局所層理論およびその深谷圏的解釈に動機づけられた手法で研究を行っています。以下に、研究の方向や動機などを簡単に記しました。

超局所層理論：

私は主な道具立てとして、超局所層理論というものを用いてきました。これは、微分方程式の超局所解析の、（ある意味で）トポロジカルな類似理論です。層のコホモロジーが変動する特異的な方向を、余接束の言葉を使って記述するということから始まった理論です。柏原—SchapiraのSheaves on manifoldsという本が原典（の一つ）であり、現在も発展し続けています。

深谷圏、ホモロジー的ミラー対称性、シンプレクティックトポロジー：

深谷圏はシンプレクティック多様体に対して定義される圏です。深谷圏を用いて、シンプレクティック幾何・シンプレクティックトポロジーを調べることもできます。近年、特別なクラスのシンプレクティック多様体の（とあるバージョンの）深谷圏が超局所層理論で記述されることがわかってきています。ラグランジュ部分多様体に対して「層量子化」という「トポロジカルな」量子化（Bettiな量子化）を考えることで、それらのなす圏が深谷圏と自然に圏同値になる、というタイプの結果です。現在私は、このような対応を強化する研究を行っています。

また、ホモロジー的ミラー対称性は、シンプレクティック幾何学的に定義される深谷圏と、代数幾何的に定義される連接層の導来圏の圏同値に関する予想です。上で述べたような深谷圏の層理論的記述を用いて深谷圏の計算を行い、ホモロジー的ミラー対称性を証明するという手法が考えられます。私の博士論文は、そのような研究をトーリック多様体に対して行ったものです。その後もそのタイプの仕事は増え続けています。

幾何的な代数解析（リーマンヒルベルト対応やWKB解析）、量子化：

リーマンヒルベルト対応とは、ある種の微分方程式の圏と構成可能層の間の圏同値です。だいたい、微分方程式の解の空間を与える関手が、圏同値を記述します。他方、量子力学においてシュレディンガー方程式の近似解を、プランク定数が0に行く極限で漸近的に求める手法をWKB解析といいます。数学的には、ラグランジュ部分多様体の変形量子化と幾何学的量子化に関連が深いです。完全WKB解析とは、そのように得られた漸近解を本当の解に持ち上げる手法です。私は、完全WKB解析で得られる解のデータを層として纏めると、ラグランジュ部分多様体の「層量子化」が得られるということを示しました。このことは、WKB版のRH対応の存在を示唆しており、また深谷圏とRH対応やWKB解析との関係も示唆しています。私は、そのような動機づけによる関連研究も行っています。

上で紹介した研究はあくまで私の研究であり、学生の方がこれらの研究をする必要は特にありません。なので、ピッタリと興味と一致しなくても、これらの研究周辺（シンプレクティック幾何、深谷圏、層の理論、ホモロジー的ミラー対称性、幾何学の量子化、代数解析など）で研究をしたい方は、私と興味が近い可能性があるので、もし私のところで大学院生をしたいということであれば、一度コンタクトを取ってください。