最新情報

2026年1月5日 研究集会「測地線及び関連する諸問題」講演予定（熊本大学）［アブスト］

2025年9月17日 「日本数学会賞建部賢弘特別賞」受賞

2025年9月1日 所属変更（京都大学→福岡大学）

研究内容

キーワード：断面曲率 / Alexandrov 空間 / GCBA 空間 / Gromov-Hausdorff 収束 / 崩壊 / extremal subset / Busemann 空間

断面曲率が下または上に有界な Riemann 多様体 およびその収束理論を研究しています．いくつかのさらなる幾何的制約（直径，単射半径，体積の有界性など）の下，これらの多様体は Gromov-Hausdorff 収束に関しプレコンパクトな族をなします（つまり任意の列が収束部分列をもつ）．Riemann 多様体の収束理論の基本的な戦略はそれらの極限空間を曲率の有界性を用いて調べることで元の多様体に対するフィードバックを得るというものです．

断面曲率の下界をもつ Riemann 多様体の極限は Alexandrov 空間（CBB 空間）と呼ばれ，その基礎理論は Burago-Gromov-Perelman (1992) により確立されました．一方，断面曲率の上界と単射半径の下界をもつ Riemann 多様体の極限は GCBA 空間（測地的完備 CBA 空間）と呼ばれ，基礎理論は Lytchak-永野 (2019) により整備されました．いずれも一般化された意味で断面曲率の下界または上界をもつ距離空間であり，典型的な例は以下の通りです：

• Alexandrov 空間 — 頂角 2π 以下の Euclidean cone / 二枚以下の半平面の境界貼り合わせ

• GCBA 空間 — 頂角 2π 以上の Euclidean cone / 二枚以上の半平面の境界貼り合わせ

上記の例は二つの幾何学の双対性を示唆していますが，同時に違いも反映しています：Alexandrov 空間の方が一般に GCBA 空間よりも遥かに制限が大きいということです．私は曲率の下界と上界の類似性・差異性についてこのような極限空間の幾何学の観点から興味をもっています．この方向性の結果としては，例えば 論文 10 をご覧ください．

二つの収束理論における最大の違いは 曲率の下界の場合にのみ存在する 崩壊（極限で次元が下がること）です．崩壊現象をとらえるには Perelman-Petrunin (1993) によって導入された Alexandrov 空間の extremal subset の概念が不可欠です．崩壊する多様体は極限 Alexandrov 空間上の特異ファイブレーション構造をもつことが期待されており，このとき極限の extremal subset 上に特異ファイバーが現れます．例えば 論文 7 をご覧ください．

最近は Busemann 空間 にも興味をもっています．これはより弱い意味で非正曲率をもつ距離空間です．実際，滑らかな設定では上記の Alexandrov 型曲率条件が Riemann 多様体にしか意味をなさないのに対し，Busemann の曲率条件は Finsler 多様体に対しても意味をなします．Alexandrov と Busemann の曲率条件の違いはまさに Riemann 幾何学と Finsler 幾何学の違いを反映していると言えます．論文 12 をご覧ください．

論文・プレプリント

* 出版順ではなく執筆順　* arXiv 版は出版されたものと多少異なる可能性あり（本質的な違いはなし）

タグの意味：R = Riemann 多様体 / A = Alexandrov 空間 / G = GCBA 空間 / C = 崩壊 / E = extremal subset / B = Busemann 空間

#12 Topological regularity of Busemann spaces of nonpositive curvature, with S. Gu, preprint (submitted), arXiv:2504.14455.  B G

#11 Alexandrov spaces are CS sets, preprint (submitted), arXiv:2404.14587.  A E

#10 A lower bound for the curvature integral under an upper curvature bound, Algebra i Analiz 36 (2024), no. 2, 131-160; St. Petersburg Math. J. 36 (2025), no. 2, 263-284; arXiv:2306.11577.  R G

#9 Lipschitz homotopy convergence of Alexandrov spaces II, with A. Mitsuishi and T. Yamaguchi, preprint (submitted), arXiv:2304.12515.  R A E

#8 Extremal subsets in geodesically complete spaces with curvature bounded above, Anal. Geom. Metr. Spaces 11 (2023), no. 1, 20230104; arXiv:2207.10369.  G E

#7 Euler characteristics of collapsing Alexandrov spaces, Arnold Math. J. 10 (2024), no. 4, 463-472; arXiv:2206.15104.  R A C E

#6 Collapsing to Alexandrov spaces with isolated mild singularities, Differential Geom. Appl. 85 (2022), 101951; arXiv:2108.11030.  R A C

#5 Noncritical maps on geodesically complete spaces with curvature bounded above, Ann. Global. Anal. Geom. 62 (2022), no. 3, 661-677; arXiv:2107.08859.  G

#4 Application of good coverings to collapsing Alexandrov spaces, Pacific J. Math. 316 (2022), no. 2, 335-365; arXiv:2010.02520.  R A C E

#3 A fibration theorem for collapsing sequences of Alexandrov spaces, J. Topol. Anal. 15 (2023), no. 1, 265-298; arXiv:1905.05484.  A C

#2 Regular points of extremal subsets in Alexandrov spaces, J. Math. Soc. Japan 74 (2022), no. 4, 1245-1268; arXiv:1905.05480.  A E

#1 Uniform boundedness on extremal subsets in Alexandrov spaces, J. Geom. Anal. 35 (2025), no. 2, 46, arXiv:1809.00603.  A C E

概要

論文 1, 論文 2 では Alexandrov 空間の extremal subset の性質を研究しました．論文 1 は extremal subset の個数・Betti 数・体積に対する Gromov 型の有限性定理を証明しました．論文 2 は extremal subset の正則点の基礎理論を展開しました．これらは修士論文の内容です．

論文 3, 論文 4 では CBB 崩壊理論における二つのファイブレーション定理を拡張しました．論文 3 は崩壊する Riemann 多様体に対する 山口のファイブレーション定理 (1991) を Alexandrov 空間の大部分に一般化しました．論文 4 は極限空間が extremal subset をもたない場合の Perelman のファイブレーション定理 (1997) を改良しました．これらは博士論文の内容です．

論文 6, 論文 7 はそれぞれ論文 3, 論文 4 で展開した手法の応用です．論文 6 は上記の二つのファイブレーション定理のギャップを埋める試みでした．論文 7 は崩壊する多様体の Euler 標数を極限空間の extremal subset とその上のファイバーの Euler 標数を用いて表示する公式を証明しました．これは Alesker (2018) による予想の一つを解決しました．

論文 5, 論文 8 では CBB 幾何学における二つの重要概念の GCBA 対応物を探究しました．論文 5 は Alexandrov 空間上の距離写像の臨界点理論の GCBA 版を展開しました．これを基に論文 8 は GCBA 空間の extremal subset の概念を導入し，その構造的性質や位相的特異点との関りを示しました．

論文 9 では，三石史人氏・山口孝男氏とともに，彼らの非崩壊 Alexandrov 空間に対する Lipschitz ホモトピー安定性定理 (2019) を改良しました．その過程で Petersen のホモトピー安定性定理 (1990) の Lipschitz 版を得ました．

論文 10 では CBB Riemann 多様体の曲率積分の一様有界性を示した Petrunin の定理 (2008) の CBA アナロジーを証明しました．証明は極限の Alexandrov 空間と GCBA 空間の双対的構造に着目することで行われます．

論文 11 では Alexandrov 空間の extremal subset による stratification が Siebenmann (1972) の意味の CS 構造を定めることを示しました．これは Perelman-Petrunin の元の結果を改良するものであり，もう一つの結果では stratification のさらなる正則性も明らかにしています．

論文 12 では，Shijie Gu 氏とともに，Lytchak-永野 (2019, 2022) および Lytchak-永野-Stadler (2024) による CAT(0) 空間に対する一連の位相的結果を Busemann 空間に拡張しました．特に 4 次元 Busemann 位相多様体が Euclid 空間に同相であることを示しました．これは Gromov の問い (1981) に対する肯定的解答を与えるものです．

学歴・職歴

2025年9月 - 　現　在　 福岡大学理学部応用数学科　助教

2025年4月 - 2025年8月 京都大学大学院理学研究科　特定助教

2022年4月 - 2025年3月 大阪大学大学院理学研究科　日本学術振興会特別研究員PD（受入：太田慎一先生）

2022年4月 - 2022年9月 大阪大学大学院理学研究科　非常勤講師

2021年4月 - 2022年3月 京都大学大学院理学研究科　非常勤研究員・教務補佐員（受入：藤原耕二先生）

2017年4月 - 2021年3月 京都大学大学院理学研究科　数学・数理解析専攻数学系　博士後期課程（指導：山口孝男先生）

博士論文「Fibration theorems for collapsing Alexandrov spaces」（論文 3, 論文 4）

2017年4月 - 2018年3月 休学

2015年4月 - 2017年3月 京都大学大学院理学研究科　数学・数理解析専攻数学系　修士課程（指導：山口孝男先生）

修士論文「Alexandrov 空間の extremal subset に関する諸定理」（論文 1, 論文 2）

2011年4月 - 2015年3月 京都大学理学部理学科（指導：山口孝男先生）

受賞

2025年9月 日本数学会賞建部賢弘特別賞（業績題目：曲率が上または下に有界な距離空間の幾何学）

助成

2025年7月 - 2027年3月 科研費 #25K23336　研究活動スタート支援「曲率の上界と下界の幾何学・収束理論」

2022年4月 - 2025年3月 科研費 #22KJ2099 (22J00100)　特別研究員奨励費「アレクサンドロフ空間の幾何学と崩壊理論」

運営

2026年2月9-20日 「The 18th MSJ-SI: Analysis, Geometry and Probability on Metric Measure Spaces」現地世話人

2025年9月 - 　現　在　 「福岡大学微分幾何講座」世話人

リンク

* 講演リスト（アブストラクトとスライドを含む）は researchmap をご覧ください

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