Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ

1. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

2316, 328, 111102 

Решение: 

Переведём все числа в десятичную систему счисления:

1.  2316  =  3510;

2.  328  =  2610;

3.  111102  =  3010.

Таким образом, наибольшим среди этих трёх чисел является число 35.

2. Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения: 42020 + 22017 – 15? 

Решение: 

Преобразуем выражение:

Число 24040 в двоичной записи записывается как единица и 4040 нулей. Добавив число 22017, получаем 100...00100...000 (единица, 2022 нулей, единица, 2017 нулей, всего 4041 разрядных цифр). Если вычесть из этого числа 24  =  100002 и прибавить 20, то число примет вид 100...001...10001. В полученном числе единица, 2023 нуля, 2013 единиц, три нуля и одна единица. Значит, всего в числе 2015 единиц.

Ответ: 2015.

3. Автомат получает на вход трёхзначное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам.

1.  Складываются первая и вторая, а также вторая и третья цифры исходного числа.

2.  Полученные два числа записываются друг за другом в порядке убывания (без разделителей).

Пример. Исходное число: 348. Суммы: 3 + 4 = 7; 4 + 8 = 12. Результат: 127. Укажите наименьшее число, в результате обработки которого автомат выдаст число 1412.

Решение: 

Пусть 12 = 3 + 9, тогда 14 выгодно разбить на сумму чисел 9 и 5. Наименьшее исходное число, удовлетворяющее условиям задачи: 395. 

4. На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1)  Строится двоичная запись числа N.

2)  К этой записи дописываются справа ещё два разряда по следующему правилу:

а)  складываются все цифры двоичной записи, и остаток от деления суммы на 2 дописывается в конец числа (справа). Например, запись 11100 преобразуется в запись 111001;

б)  над этой записью производятся те же действия  — справа дописывается остаток от деления суммы цифр на 2.

Полученная таким образом запись (в ней на два разряда больше, чем в записи исходного числа N) является двоичной записью искомого числа R.

Укажите минимальное число R, которое превышает 43 и может являться результатом работы алгоритма. В ответе это число запишите в десятичной системе.

Решение: 

Если в числе было нечётное количество единиц, то в конец допишется 10. Если количество единиц чётное, то допишется 00. Рассмотрим числа, большие 43. Имеем:

4410 = 1011002  — не может являться результатом работы алгоритма,

4510 = 1011012  — не может являться результатом работы алгоритма,

4610 = 1011102  — может являться результатом работы алгоритма, количество единиц (кроме последних двух разрядов) нечетное, и в последних двух разрядах 10. 

5. Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, О, У, записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка:

1.  ААААА

2.  ААААО

3.  ААААУ

4.  АААОА

.....

Запишите слово, которое стоит на 210-м месте от начала списка.

Решение: 

Заменим буквы А, О, У на 0, 1, 2 (для них порядок очевиден – по возрастанию)

Выпишем начало списка, заменив буквы на цифры:

1.  00000

2.  00001

3.  00002

4.  00010

...

Полученная запись есть числа, записанные в троичной системе счисления в порядке возрастания. Тогда на 210 месте будет стоять число 209 (т. к. первое число 0). Переведём число 209 в

троичную систему (деля и снося остаток справа налево):

209 / 3 = 69 (2)

69 / 3 = 23 (0)

23 / 3 = 7 (2)

7 / 3 = 2 (1)

2 / 3 = 0(2)

В троичной системе 209 запишется как 21202. Произведём обратную замену и получим УОУАУ.

1. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

3816, 758, 1101002.

2. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

5516, 2228, 11112

3. На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1.  Строится двоичная запись числа N.

2.  К этой записи дописываются справа ещё два разряда по следующему правилу:

а)  складываются все цифры двоичной записи, и остаток от деления суммы на 2 дописывается в конец числа (справа). Например, запись 10000 преобразуется в запись 100001;

б)  над этой записью производятся те же действия  — справа дописывается остаток от деления суммы цифр на 2.

Полученная таким образом запись (в ней на два разряда больше, чем в записи исходного числа N) является двоичной записью искомого числа R.

Укажите такое наименьшее число N, для которого результат работы алгоритма больше 97. В ответе это число запишите в десятичной системе счисления.

4. На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1.  Строится двоичная запись числа N.

2.  К этой записи дописываются справа ещё два разряда по следующему правилу: складываются все цифры двоичной записи, если

а)  сумма нечетная к числу дописывается 11,

б)  сумма четная, дописывается 00.

Полученная таким образом запись (в ней на два разряда больше, чем в записи исходного числа N) является двоичной записью искомого числа R. Укажите такое наименьшее число R, которое превышает 114 и может являться результатом работы алгоритма. В ответе это число запишите в десятичной системе счисления.

5. Значение арифметического выражения: 98 + 35 – 9 – записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи? 

6. Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения: 4255 + 2255 − 255? 

7. Все 4-буквенные слова, составленные из букв Н, Р, Т, У, записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка:

1.  НННН

2.  НННР

3.  НННТ

4.  НННУ

5.  ННРН

.....

 Запишите слово, которое стоит на 215-м месте от начала списка.

8. Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, К, Р, У, записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка:

1.  ААААА

2.  ААААК

3.  ААААР

4.  ААААУ

5.  АААКА

.....

 Запишите слово, которое стоит на 350-м месте от начала списка.