千三つさんが教える土木工学

1.7 粘性力

粘性とは、流体（気体と液体）中を物体が動こうとするときに流体が抵抗する性質のことであり、動摩擦の一種といえます。粘性の例えとしては、空気中と水中での手の動かしやすさの違いがよく挙げられます。経験的に、空気中のほうが動かしやすいことは分かると思います。これは気体のほうが粘性が弱いからだといえます。

気体の粘性と液体の粘性は少し挙動が違います。気体の粘性は、気体中に存在する速度の大きい分子と小さい分子が衝突し、速度が平均化するのが原因だとされています。一方で、液体の粘性は、液体が形を変えようとするときに、隣の分子と離れないよう発生する分子間力が原因だといわれています。

水の粘性については水力学 1.5 水の粘性で詳しく述べていますのでこちらを参考にして下さい。ここでは、空気の粘性について述べていこうと思います。

空気の粘性として一番最初に挙げられるのは、空気抵抗力です。空気抵抗力を式で表すと次のようになります。

このとき、Rは空気抵抗力 [N]、κは比例定数 [kg/s] です。

この空気抵抗力を自由落下時の運動方程式に組み込むと次のようになります。自由落下に関しては1.2 加速度を参照して下さい。

地球上の物理現象として、空気抵抗を受けているときの落下中の物体の速度は初めのうちは増加し続けるのですが、あるところで一定の値となってしまいます。この値を終端速度といい、上式で加速度を0とおけば求めることができます

このとき、vfは終端速度 [m/s] です。

また、質量は密度に体積を掛けることで求めることができます。密度と体積についてはこちらのページを参照して下さい。では、実際の雨粒の終端速度を導出してみましょう。雨粒は球体であり半径をrと仮定すると、体積は球の公式から求めることができます。また、比例定数はストークスの式より次のように定義されています。

このとき、ρは密度 [kg/m³]、Vは体積 [m³]、rは球の半径 [m]、μは粘性係数または粘度 [N/m²・s] です。

粘性係数は流体の粘りの度合いを表しており、流体によって値が異なってきます。例えば、30℃の空気だと粘性係数は1.869×10^-5 [N/m²・s] 程度の値となります。また、雨粒の半径を0.005 [m]、雨粒の密度を1000 [kg/m³]、重量加速度を9.81 [m/s²]と仮定すると雨粒の終端速度が求まります。

計算してみると雨粒は秒速114 [m/s] の速度で進んでいることが分かりましたが、ちょっと待ってください。秒速114 [m/s] を時速に変換してみて下さい。すると、雨粒の時速は400 [km/h] 以上となります。そんな速度で降ってくると雨は殆ど見えなくなり、代わりに頭に大打撃を受けることになります。教科書では、この式を使えば終端速度が求まると書いてあるのですが、計算してみると実際の物理現象とは大きく異ることが分かりました。このように疑いの目を持つことは新しい発見に繋がります。

では、上式の何がダメだったのでしょうか。実は、速度が遅い場合は粘性抵抗が非常に効果的なのですが、ある程度速くなると速度の２乗で比例する慣性抵抗のほうが大きくなってきます。粘性抵抗と慣性抵抗を人で例えてみると、粘性抵抗は周りに人が多いために自分の歩くスピードが遅くなってしまう現象であり、慣性抵抗は周りに人が少ないために走ってしまい、周りの人とたくさん衝突してしまう現象とイメージすれば分かりやすいのではないでしょうか。従って、粘性抵抗で求める終端速度は水中などの場合に適しているといえます。では、慣性抵抗の運動方程式に移ります。