Temario

Temario

Primera parte

• Espacios de Banach
  • Ejemplo: espacio de funciones continuas
  • Definición de espacio de Banach
  • El espacio conjugado (funcionales lineales continuas)
  • Mas ejemplos de espacios de Banach
  • Topologías débiles
  • Teoremas:
    • Alaoglu, Hanh-Banach, Teorema del Mapeo Abierto
  • Espacio conjugado de las funciones continuas.
• Algebras de Banach
  • Ejemplos: el álgebra de funciones continuas
  • Definición de álgebra de Banach
  • Funcionales lineales multiplicativas
  • La transformada de Gelfand
  • El teorema de Gelfand-Mazur
  • El teorema de Gelfand para Algebras Conmutativas
  • La fórmula del Radio Espectral
• Geometría de Espacios de Hilbert
  • Espacios con producto interior
  • La desigualdad de Cauchy-Schwarz
  • El teorema de Pitágoras
  • Espacios de Hilbert
  • Ejemplos
  • El teorema de Representación de Riesz
  • Existencia de bases ortogonales
  • Dimensión en espacios de Hilbert
• Operadores en espacios de Hilbert y Algebras C*
  • El adjunto
  • Operadores normales y auto-adjuntos
  • Proyecciones
  • Operadores multiplicación y Algebras Abelianas Máximales
  • El operador corrimiento bilateral
  • Definición de álgebras C*
  • El teorema de Gelfand-Naimark
  • El teorema espectral
  • Calculo funcional
  • Raíces cuadradas y operadores positivos
  • La descomposición polar
  • Topologías débiles y fuertes de operadores
  • Algebras W*

Segunda parte

• Teoría espectral de Gráficas
  • Gráficas localmente finitas
  • El operador de adyacencia
  • Convergencia en gráficas y la topología de operadores
• Probabilidad libre
  • Definición de espacio de probabilidad no conmutativo
  • Distribuciones de operadores con respecto a un estado
  • La convolución aditiva libre
  • La transformada R de Voiculescu

Bibliografía

1. Douglas. "Banach Algebra techniques in Operator Theory". Graduate texts in mathematics. Springer, 1972.
2. Voiculescu, Dykema, Nica. "Free Random Variables". CRM monographs series. AMS 2002.