Índex

2 Execució de mosaic_ball

El programa mosaic_ball llegeix un fitxer de definició <file>.def i genera un fitxer <file>_ball.dat que es fa servir com a entrada per a l'eina yarnball. Per executar mosaic_ball, entreu la instrucció

mosaic_ball [<opcions>] [<fitxer>[.def]]

Opcions

-h: (help). Mostra una petita ajuda que descriu l'ús i les opcions.

-y: (yarnball). Executa yarnball per mostrar el mosaic sobre una bola.

mosaic_ball divideix les àrees a dibuixar en triangles sobre l'esfera de radi unitat, calcula les coordenades cartesianes del vèrtexs i les escriu en un fitxer <fitxer>_ball.dat. Després, divideix els entrellaços en segments sobre una esfera de radi lleugerament superior a 1, de forma que es dibuixin per sobre de les àreees ja dibuixades sobre l'esfera, calcula les seves coordenades i les escriu al final del mateix fitxer <fitxer>_ball.dat.

3 Execució de yarnball

El programa yarnball també es pot utilitzar tot sol. Per executar-lo, entreu la instrucció

yarnball [<opcions>] <fitxer_d'entrada>

Opcions

-h: (help). Mostra una petita ajuda que descriu l'ús i les opcions.

-s <subdivisions>: Defineix el nombre de passos de subdivisió. Valor per defecte, 0, cap subdivisió..

-w <line_width>: Defineix l'amplada de línia, en pixels. Valor per defecte, 1 pixel.

Ordres

• Botons del ratolí:

  • Esquerre i arrossegar: Canvia l'orientació de la bola.

  • Centre: Torna a l'orientació inicial.

  • Dret: Rellegeix el fitxer d'entrada.

• Tecles:

  • R: Inicia/acaba rotació de la bola.

  • S: Salva imatge a screenshot.png o, si la bola està rotant, inicia/acaba salvar l'animació a animation.gif.

4 Fitxer d'entrada de yarnball

El fitxer d'entrada de yarnball és un fitxer ASCII amb tres seccions:

1. Definicions de color. Cada línia consisteix en un índex de color, k, i els valors de r , g, b, amb 0 ≤ r, g, b ≤ 1. Per exemple, el color 8 es defineix com a taronja fosc amb la línia:

8 0.800 0.400 0.000

Una línia al final de la secció, començant amb un caràcter no numèric, serveix de separador.

2. Definicions d'àrea triangular. Cada línia consisteix en les coordenades cartesianes (vegeu Apèndix A) dels tres vèrtexs d'un triangle esfèric de l'esfera de radi unitat i l'índex del color. Per exemple, un octant de l'esfera és el triangle amb vèrtexs (1, 0, 0), (0, 1, 0) i (0, 0, 1). La línia per dibuixar el triangle en taronja fosc és:

1.000 0.000 0.000 0.000 1.000 0.000 0.000 0.000 1.000 8

Una línia al final de la secció, començant amb un caràcter no numèric, serveix de separador.

3. Definicions de segment de línia. Cada línia consisteix en les coordenades cartesianes (vegeu Apèndix A) dels dos extrems d'un segment d'un cercle major i l'índex del color. Per example, un quadrant de meridià a l = 0 és el segment amb extrems (1, 0, 0) i (0, 0, 1). La línia per dibuixar el segment en taronja fosc, és:

1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1.000 8

Exemple de fitxer d'entrada per a yarnball

0 1.000 1.000 1.000

1 0.000 0.000 0.000

........

14 0.000 0.000 0.500

15 1.000 0.950 0.900

--Triangular areas: x1 y1 z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3 color

0.949 0.224 0.224 0.924 0.000 0.383 1.000 0.000 0.000 4

0.949 0.224 0.224 1.000 0.000 0.000 0.924 0.383 0.000 4

........

-0.485 0.517 -0.708 -0.480 0.480 -0.737 -0.617 0.491 -0.617 9

-0.485 0.517 -0.708 -0.617 0.491 -0.617 -0.605 0.521 -0.605 9

--Line segments: x1 y1 z1 x2 y2 z2 color

0.707 0.707 -0.023 0.879 0.454 0.148 1

0.707 0.707 0.023 0.864 0.466 0.193 1

........

0.864 0.466 0.193 0.879 0.454 0.148 1

0.895 0.413 0.171 0.935 0.252 0.252 1

5 Fitxer de definició de mosaic

El fitxer de definició de mosaic_ball és el mateix que per a mosaic, amb unes poques excepcions descrites a continuació. A diferència dels mosaics plans, les àrees han de ser poligons convexos.

5.1 Instruccions noves, específiques de mosaic_ball

5.1.1 PH: (PolyHedron) Políedre tessel·lador

• PH n

Substitueix la instrucció SY dels mosaics plans.

Per a n > 0, selecció d'un dels cinc políedres regulars per a la tessel·lació de l'esfera, 1 (tetràedre), 2 (hexàedre o cub), 3 (octàedre), 4 (dodecàedre), o 5 (icosàedre). Vegeu un exemple a la Fig. 2.

Per a n < 0, selecció d'un hosòedre |n|-gonal (una pilota de platja amb |n| fusos) per a la tessel·lació de l'esfera.

5.1.2 AF: (Area color for Faces) Color d'àrea per a les cares

• AF c0 c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8 c9 c10 c11 c12 c13 c14 c15

Permutació dels 16 colors, utilitzat per canviar els colors per a cada cara del políedre, 0 ≤ ci ≤ 15, i = 0, . . ., 15.

Una àrea definida amb color k es dibuixarà en color k a la cara 0, color AF(k) a la cara 1, color AF²(k) a la cara 2, . . . color AFⁿ(k) a la cara n.

Per defecte, AF(k) = k, és a dir, el mateix color per a totes les cares.

Exemple 1

AF 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ! Definició de AF(0) = 1, AF(1) = 2, AF(2) = 3, . . . , AF(15) = 3.

AC 1 ! L'àrea es dibuixa en color 1 (cara 0), AF(1) = 2 (cara 1), AF(2) = 3 (cara 2), AF(3) = 1 (cara 3), AF(1) = 2 (cara 4), etc.

AC 3 ! L'àrea es dibuixa en color 3 (cara 0), 1 (cara 1), 2 (cara 2), 3 (cara 3), 1 (cara 4), etc.

Exemple 2

AF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 !Aquesta és la instrucció usada per dibuixar els políedres de la Fig. 1.

5.2 Instruccions de mosaic canviades o no usades a mosaic_ball

• SY: (SYmmetry) Substituïda per PH, vegeu més amunt

• SZ: (SiZe). 1= mostra la cara base del polièdre (valor per defecte); 0= mostra només la cel·la base..

• TI: (TItle of the mosaic) No es mostra.

• VG: (Vectors defining the Grid) No necessari, la tessel·lació està definida pel políedre.

6 Geometria de l'esfera i dels políedres

6.1 Characterístiques dels políedres regulars

Analitzem primer els políedres esfèrics que són la projecció sobre l'esfera de políedres regulars,. Els políedres regulars tenen cares planes que són polígons regulars. Les cares només poden ser triangles equilàters, quadrats o pentàgons regulars. Els políedres amb cares triangulars tenes vèrtexs que poden estar formats per tres, quatre, o cinc triangles. Per als políedres amb cares quadrades o pentagonals els vèrtexs només poden estar formats per tres quadrats o pentàgons. En total, hi ha cins políedres regulars (també anomenats els cinc sòlids platònics), el tetràedre (quatre cares triangulars), l'hexàedre o cub (sis cares quadrades), l'octàedre (vuit cares triangulars), el dodecàedre (dotze cares pentagonals) i l'icosàedre (vint cares triangulars).

Per a cada políedre es pot formar un altre políedre (el seu dual) prenent com a vèrtexs els centres de les cares del primer políedre. Així, hi ha dues parelles de políedres duals un de l'altre, la parela hexàedre-octàedre i la parella dodecàedre-icosàedre. Per altra banda, el tetràedre és dual d'ell mateix.

Les característiques dels políedres regulars i la llargada de les arestes respecte al radi de l'esfera circumscrita, a/R , i de la inscrita, a/r, són les següents:

PH Políedre NC NV NA AC CV Aresta a/R Aresta a/r

__________________________________________________________________________

1 Tetràedre 4 4 6 3 3 √(8/3) = 1.6330 2√6 = 4.8990

2 Hexàedre 6 8 12 4 3 2/√3 = 1.1547 2 = 2

3 Octàedre 8 6 12 3 4 √2 = 1.4142 √6 = 2.4495

4 Dodecàedre 12 20 30 5 3 (√5-1)/√3 = 0.7136 √(50-22√5) = 0.8981

5 Icosàedre 20 12 30 3 5 √(2-2/√5) = 1.0515 √(42-18√5) = 1.3232

(NC = nombre de cares, NV = nombre de vèrtexs, NA = nombre d'arestes, AC = nombre d'arestes de la cara poligonal, CV = nombre de cares que formen un vèrtex)

Vegeu a l'Apèndix A el sistema de coordenades usat, a B les projeccions dels políedres sobre l'esfera, a D les coordenades dels centres de les cares i vèrtexs dels políedres i les matrius de rotació per a les cares dels políedres.

6.2 Políedres esfèrics sense contrapartida regular

A més del políedres regulars projectats sobre una esfera, hi ha dos tipus de políedres esfèrics que no tenen correspondència amb cap poliédre regular (és un políedre degenerat), que també tessel·len l'esfera.

• Hosòedre (del grec 𝜊𝜎𝜊𝜍, hóssos, "tant com faci falta"). La divisió de l'esfera en fusos esfèrics (com una pilota de platja) correspon a un hosòedre n-gonal, format per n fusos esfèrics o dígons (polígons amb dos costats, sense equivalència al pla), amb dos vèrtexs en punts antipodals (els pols).

• Díedre esfèric*. La divisió de l'esfera en dos hemisferis correspon al díedre esfèric. Encara que formalment hi ha infinits díedres n-gonals, tots formen la mateixa tessel·lació de l'esfera. El díedre n-gonal i l'hosòedre n-gonal són duals un de l'altre. El díedre esfèric més simple és el díedre monogonal, amb un únic vèrtex a l'única aresta (un punt arbitrari de l'equador que separa els dos hemisferis). En general, el díedre n-gonal té n vèrtexs distribuits regularment al llarg de l'equador. El díedre digonal coincideix amb l'hosòedre digonal i, per tant, quant a la tessel·lació de l'esfera, no cal considerar separadament el díedre esfèric.

Políedre esfèric NC NV NA AC CV

____________________________________

Hosòedre n 2 n 2 n

Díedre esfèric 2 n n n 2

(NC = nombre de cares, NV = nombre de vèrtexs, NA = nombre d'arestes, AC = nombre d'arestes de la cara poligonal, CV = nombre de cares que formen un vèrtex)

Vegeu a l'Apèndix C la projecció de l'hosòedre i a l'E les coordenades dels centres de les cares i vèrtexs de l'hosòedre i díedre esfèric i les matrius de transformació entre les cares.

6.3 Cara base i cel·la base dels políedres regulars

Políedres amb cares triangulars: PH = 1 (tetràedre), 3 (octaèdre), 5 (icosàedre).

• Cel·la base: 1/3 de la cara base triangular.

• La cel·la base es copia 2 cops, rotada 120 i 240 graus, per formar la cara base.

• Llargada de l'aresta de la cara base: b = 2√3 = 3.4641.

Políedre amb cares quadrades: PH = 2 (hexàedre).

• Cel·la base: 1/4 de la cara base quadrada.

• La cel·la base es copia 3 cops, rotada 90, 180 i 270 graus, per formar la cara base.

• Llargada de l'aresta de la cara base: b = 2.

Políedre amb cares pentagonals: PH = 4 (dodecàedre).

• Cel·la base: 1/5 de la cara base pentagonal.

• La cel·la base es copia 4 cops, rotada 72, 144, 216 i 288 graus, per formar la cara base.

• Llargada de l'aresta de la cara base:: b = 2√(5 − 2√5) = 1.4531.

Les cantonades de la cel·la base són els quatre punts predefinits par a cada políedre (vegeu Fig. 3):

PH P0 P1 P2 P3

_________________________________________________________

1,3,5 (0, 0) (1, 0) (−1/2, √3/2) (1, √3)

2 (0, 0) (1, 0) (0, 1) (1, 1)

4 (0, 0) (1, 0) ((√5−1)/4, √(10+2√5)/4) (1, √(5−2√5))

Els valors resultants de les coordenades dels quatre punts són:

PH P0 P1 P2 P3

________________________________________________

1,3,5 (0, 0) (1, 0) (−0.5, 0.8660) (1, 1.7321)

2 (0, 0) (1, 0) (0, 1) (1, 1)

4 (0, 0) (1, 0) (0.3090, 0.9511) (1, 0.7265)

Les quatre l'inies predefinides, L1 a L4, són les arestes de la cel·a base per a cada políedre i L0 és la diagonal de la cel·la base que passa per P0: (vegeu Fig. 3):

PH L0 L1 L2 L3 L4

__________________________________________________

1,3,5 P0 A 60 P0 A 0 P0 A 120 P3 A 30 P3 A 90

2 P0 A 45 P0 A 0 P0 A 90 P3 A 0 P3 A 90

4 P0 A 36 P0 A 0 P0 A 72 P3 A 162 P3 A 90

Com que P1 es defineix sempre amb coordenates (1, 0), la cara base s'ha de escalar a la grandària de la cara poligonal de cada políedre. Els factors d'escala de la cara base a la cara del políedre són:

PH a/r b Factor d'escala (a/r)/b

__________________________________________________

1 2√6 2√3 √2 = 1.4142

2 2 2 1 = 1

3 √6 2√3 √2/2 = 0.7071

4 √(50−22√5) 2√(5−2√5) √[(3−√5)/2] = 0.6180

5 √(42−18√5) 2√3 √[(7−3√5)/2] = 0.3820

6.4 Cara base i cel·la base de l'hosòedre

La projecció utilitzada per als políedres regulars no és utilitzable per a l'hosòedre, perquè els fusos inclouen el dos pols de l'esfera. En comptes, farem servir la projecció de la cara base en un rombe. La cel·la base és un triangle, 1/2 de la cara base, amb dos vèrtexs als pols i els tercer a l'equador. Es copia un cop, fent-ne una rotació de 180 graus, per formar la cara base. L'altura de la cara base és 2 i, per a un hosòedre n-gonal, l'amplada total de la cara base és 4/n (vegeu Fig. 4).

Els valors de les coordenades dels punts predefinits P0 a P3 són:

PH P0 P1 P2 P3

__________________________________

-n (0, 0) (2/n, 0) (0, 1) (0, -1)

Les línies predefinides són l'equador L0=L1 i els costats de la cel·la base L2 a L4:

Línia Punts extrems

____________________

L0 P0-P1

L1 P0-P1

L2 P2-P3

L3 P1-P2

L4 P1-P3

Apèndixs

A Coordenades sobre l'esfera

• ˆCoordenades esfèriques dels punts de l'esfera:

  • longitud l (−180 < l ≤ 180),

  • latitud b (−90 ≤ b ≤ 90).

• Coordenades cartesianes (x, y, z), amb x² + y² + z ² = 1, amb x i y en el pla fonamental (b = 0), x en la direcció l = 0, y en la direcció l = 90, i z en la direcció del pol (b = 90) (vegeu Fig. 4).

Relació entre coordenades:

x = cos b cos l l = argum (y, x)

y = cos b sin l b = arctan [z/√(x²+y²)]

z = sin b

B Projecció d'una cara base poligonal sobre l'esfera

La cara poligonal base està centrada a (l = 0, b = 0), i considerem un pla tangent a l'esfera en el centre de la cara (esfera inscrita). Un punt P = (l, b) de l'esfera es projecta des del centre de l'esfera a un punt P' del pla tangent amb coordenades (x_b , y_b) en unitats del radi de l'esfera, amb x_b cap a la dreta i y_b cap a dalt, vist des de fora de l'esfera (vegeu Fig. 8). Les coordenades en el pla venen donades per:

x_b = tan l,

y_b = tan b √(1+tan² l) = tan b/cos l.

Com que només un hemisferi (−90 < l < +90) té projecció sobre el pla, la transformada inversa es pot donar simplement així:

l = arctan x_b,

b = arctan [y_b/√(1+x_b²)],

i les coordenades cartesianes del punt de l'esfera sòn:

x = cos b cos l = 1/√(1+x_b²+y_b²),

y = cos b sin l = x_b/√(1+x_b²+y_b²),

z = sin b = y_b/√(1+x_b²+y_b²).

En general, per a una capa de radi r_l

x = r_l /√(1+x_b²+y_b²),

y = r_l x_b/√(1+x_b²+y_b²),

z = r_l y_b/√(1+x_b²+y_b²).

En aquesta transformació:

• ˆTots els cercles majors de l'esfera es transformen en rectes al pla tangent. En particular, els meridians esdevenen rectes verticals en el pla. Una altra consequència és que els límits de la cel·la base i les arestes de la cara esdevenen línies rectes al pla tangent.

• ˆTots els cercles menors es transformen en còniques (el·lipses tancades o paràboles i hipèrboles obertes). En particular, els paral·lels de l'esfera es transformen en hipèrboles en el pla tangent, simètriques respecte a l'eix vertical (y_b). L'equador (un cercle major) esdevé l'eix x_b.

• ˆ Els angles no es conserven en la transformació: els meridians i paral·lels deixen de ser perpendiculars en el pla tangent. La deformació més gran té lloc a la cantonada superior dreta de la cel·la base (vegeu Fig. 3). L'angle d'aquesta cantonada de la cel·la base canvia notablement quan es projecta sobre l'esfera:

PH Pla Esfera Variació

___________________________

1 60 120 100%

2 90 120 33%

3 60 90 50%

4 108 120 11%

5 60 72 20%

C Projecció d'una cara de l'hosòedre

La cara base d'un hosòedre n-gonal, un dígon o fus esfèric amb els seus dos vèrtexs als pols de l'esfera, es projecta sobre un rombe pla (vegeu Fig. 9). Un punt P = (l, b) de la cara de l'hosòedre es projecta a un punt P' del pla amb coordenades (x_b , y_b) donades per

x_b = (l/90)(1-|b|/90) (-180/n ≤ l ≤ +180/n),

y_b = b/90 (-90 ≤ b ≤ +90).

La transformada inversa ve donada per

l = 90 x_b/(1-|y_b|) (-2/n ≤ x_b ≤ 2/n),

b = 90 y_b (-1 ≤ y_b ≤ 1).

Les coordenades cartesianes del punt P d'una capa de radi r_l de l'esfera són

x = r_l cos b cos l = r_l cos (90 y_b) cos [90 x_b/(1-|y_b|)],

y = r_l cos b sin l = r_l cos (90 y_b) sin [90 x_b/(1-|y_b|)],

z = r_l sin b = r_l sin (90 y_b).

S'ha triat aqquesta projecció perquè els costats de la cara base (dos meridians) es transformen en segments rectes. Qualsevol meridià de longitud l₀ es transforma en dos segments rectes donats per x_b= l₀/90)(1-|y_b|). Els dos segments són simètrics respecte a l'equador i cadascun va d'un pol a un punt comú de l'equador. Els paral·lels es transformen en rectes horitzontals. L'escala dels dos eixos s'ha triat de forma que per a n = 2, la cara de l'hosòedre digonal, un hemisferi, es projecti en un rombe quadrat |x_b|+|y_b| ≤ 1.

D Centres de les cares i vèrtexs dels políedres regulars

En aquesta secció es donen les coordenades del centre de les cares i vèrtexs dels polièdres, i les matrius de rotació per transformar una cara en una altra. Les coordenades corresponen a polièdres rotats de forma que el centre de la cara 0 té coordenades cartesianes (1, 0, 0), corresponent a esfèriques (0, 0), amb una aresta de la cara en la direcció z, per a y > 0 (vegeu Fig. 3). Per a les cares, C és el número (arbitrari) de cara i VC identifica els vèrtexs que són les cantonades de la cara poligonal. Per als vertexs, V identifica el vèrtex i CV identifca les cares que formen el vèrtex.

Les matrius de rotació transformen les coordenades d'un punt r₀ = (x₀ , y₀ , z₀ ) de la cara 0 en les coordenades del mateix punt en una altra cara , r_k = (x_k , y_k , z_k). La matriu 3 × 3 de rotació R_k de la cara 0 a la cara k és tal que R_k r₀ = r_k,

⎡R_k11 R_k12 R_k13⎤ ⎡x₀⎤   ⎡x_k⎤

⎢R_k21 R_k22 R_k23⎟ ⎢y₀⎟ = ⎢y_k⎟.

⎣R_k31 R_k32 R_k33⎦ ⎣z₀⎦   ⎣z_k⎦

C.1 Tetràedre

Centre de les cares del tetràedre

C VC x y z l b

_________________________________________________

0 012 1.000 0.000 0.000 0.00 0.00

1 013 -0.333 -0.471 -0.816 -125.26 -54.74

2 023 -0.333 -0.471 0.816 -125.26 54.74

3 123 -0.333 0.943 0.000 109.47 0.00

Vèrtexs del tetràedre

V CV x y z l b

_________________________________________________

0 012 0.333 -0.943 0.000 -70.53 0.00

1 013 0.333 0.471 -0.816 54.74 -54.74

2 023 0.333 0.471 0.816 54.74 54.74

3 123 -1.000 0.000 0.000 180.00 0.00

Matrius de rotació del tetràedre

⎡-0.3333 -0.4714 0.8165⎤ ⎡-0.3333 -0.4714 -0.8165⎤ ⎡-0.3333 -0.4714 0.8165⎤

R1=⎢-0.4714 0.8333 0.2887⎟ R2=⎢-0.4714 0.8333 -0.2887⎟ R3=⎢ 0.9428 -0.1667 0.2887⎟

⎣-0.8165 -0.2887 -0.5000⎦ ⎣ 0.8165 0.2887 -0.5000⎦ ⎣ 0.0000 0.8660 0.5000⎦

C.2 Hexàedre

Centre de les cares de l'hexàedre

C VC x y z l b

_______________________________

0 0123 1 0 0 0 0

1 4567 -1 0 0 180 0

2 0145 0 1 0 90 0

3 2367 0 -1 0 -90 0

4 0246 0 0 1 0 90

5 1357 0 0 -1 0 -90

Vèrtexs de l'hexàedre

C CV x y z l b

_____________________________________________

0 024 0.577 0.577 0.577 45 35.26

1 025 0.577 0.577 -0.577 45 -35.26

2 034 0.577 -0.577 0.577 -45 35.26

3 035 0.577 -0.577 -0.577 -45 -35.26

4 124 -0.577 0.577 0.577 135 35.26

5 125 -0.577 0.577 -0.577 135 -35.26

6 134 -0.577 -0.577 0.577 -135 35.26

7 135 -0.577 -0.577 -0.577 -135 -35.26

Matrius de rotació de l'hexàedre

⎡-1 0 0⎤ ⎡0 0 1⎤ ⎡ 0 1 0⎤ ⎡0 1 0⎤ ⎡ 0 0 1⎤

R1=⎢ 0 0 1⎟ R2=⎢1 0 0⎟ R3=⎢-1 0 0⎟ R4=⎢0 0 1⎟ R5=⎢ 0 1 0⎟

⎣ 0 1 0⎦ ⎣0 1 0⎦ ⎣ 0 0 1⎦ ⎣1 0 0⎦ ⎣-1 0 0⎦

C.3 Octàedre

Centre de les cares de l'octàedre

C VC x y z l b

__________________________________________________

0 012 1.000 0.000 0.000 0.00 0.00

1 023 0.333 0.000 -0.943 0.00 -70.52

2 014 0.333 -0.816 0.471 -67.79 28.13

3 034 -0.333 -0.816 -0.471 -112.21 -28.13

4 125 0.333 0.816 0.471 67.79 28.13

5 235 -0.333 0.816 -0.471 112.21 -28.13

6 145 -0.333 0.000 0.943 180.00 70.52

7 345 -1.000 0.000 0.000 180.00 0.00

Vèrtexs de l'octàedre

V CV x y z l b

__________________________________________________

0 0123 0.577 -0.707 -0.408 -50.77 -24.09

1 0246 0.577 0.000 0.817 0.00 54.74

2 0145 0.577 0.707 -0.408 50.77 -24.09

3 1357 -0.577 0.000 -0.817 180.00 -54.74

4 2367 -0.577 -0.707 0.408 -129.23 24.09

5 4567 -0.577 0.707 0.408 129.23 24.09

Matrius de rotació de l'octàedre

⎡ 0.3333 -0.4714 0.8165⎤ ⎡ 0.3333 -0.4714 -0.8165⎤ ⎡-0.3333 -0.9428 0.0000⎤

R1=⎢-0.4714 0.6667 0.5774⎟ R2=⎢-0.4714 0.6667 -0.5774⎟ R3=⎢-0.9428 0.3333 0.0000⎟

⎣-0.8165 -0.5774 0.0000⎦ ⎣ 0.8165 0.5774 0.0000⎦ ⎣ 0.0000 0.0000 -1.0000⎦

⎡ 0.3333 -0.4714 -0.8165⎤ ⎡-0.3333 -0.9428 0.0000⎤ ⎡-0.3333 -0.9428 0.0000⎤

R4=⎢ 0.9428 0.1667 0.2887⎟ R5=⎢ 0.4714 -0.1667 0.8660⎟ R6=⎢ 0.4714 -0.1667 -0.8660⎟

⎣ 0.0000 -0.8660 0.5000⎦ ⎣-0.8165 0.2887 0.5000⎦ ⎣ 0.8165 -0.2887 0.5000⎦

⎡-1.0000 0.0000 0.0000⎤

R7=⎢ 0.0000 0.5000 0.8660⎟

⎣ 0.0000 0.8660 -0.5000⎦

C.4 Dodecàedre

Centre de les cares del dodecàedre

C VC x y z l b

____________________________________________________

0 01234 1.000 0.000 0.000 0.00 0.00

1 56789 -0.447 0.724 -0.526 121.72 -31.72

2 01ABC 0.447 -0.724 0.526 -58.28 31.72

3 56DEF -1.000 0.000 0.000 180.00 0.00

4 02AGH 0.447 -0.724 -0.526 -58.28 -31.72

5 13BIJ 0.447 0.276 0.851 31.72 58.28

6 57DGH -0.447 -0.276 -0.851 -148.28 -58.28

7 68EIJ -0.447 0.724 0.526 121.72 31.72

8 2479G 0.447 0.276 -0.851 31.72 -58.28

9 ACDFH -0.447 -0.894 0.000 -116.57 0.00

10A 3489I 0.447 0.894 0.000 63.43 0.00

11B BCEFJ -0.447 -0.276 0.851 -148.28 58.28

Vèrtexs del dodecàedre

V CV x y z l b

____________________________________________________

0 024 0.795 -0.357 0.491 -24.18 29.42

1 025 0.795 0.357 0.491 24.18 29.42

2 048 0.795 -0.577 -0.188 -36.00 -10.81

3 05A 0.795 0.577 -0.188 36.00 -10.81

4 08A 0.795 0.000 -0.607 0.00 -37.37

5 136 -0.795 -0.357 -0.491 -155.82 -29.42

6 137 -0.795 0.357 -0.491 155.82 -29.42

7 168 -0.188 -0.577 -0.795 -108.00 -52.62

8 17A -0.188 0.577 -0.795 108.00 -52.62

9 18A 0.188 0.000 -0.982 0.00 -79.19

10A 249 0.188 -0.577 0.795 -72.00 52.62

11B 25B 0.188 0.577 0.795 72.00 52.62

12C 29B -0.188 0.000 0.982 180.00 79.19

13D 369 -0.795 -0.577 0.188 -144.00 10.81

14E 37B -0.795 0.577 0.188 144.00 10.81

15F 39B -0.795 0.000 0.607 180.00 37.37

16G 468 0.188 -0.934 -0.304 -78.64 -17.67

17H 469 -0.188 -0.934 0.304 -101.36 17.67

19I 57A 0.188 0.934 -0.304 78.64 -17.67

19J 57B -0.188 0.934 0.304 101.36 17.67

Matrius de rotació del dodecàedre

⎡-0.4472 0.7236 0.5257⎤ ⎡ 0.4472 -0.7236 -0.5257⎤ ⎡-1.0000 0.0000 0.0000⎤

R1=⎢ 0.7236 0.6382 -0.2629⎟ R2=⎢-0.7236 0.0528 -0.6882⎟ R3=⎢ 0.0000 -0.3090 0.9511⎟

⎣-0.5257 0.2629 -0.8090⎦ ⎣ 0.5257 0.6882 -0.5000⎦ ⎣ 0.0000 0.9511 0.3090⎦

⎡ 0.4472 -0.7236 0.5257⎤ ⎡ 0.4472 -0.7236 -0.5257⎤ ⎡-0.4472 0.7236 -0.5257⎤

R4=⎢-0.7236 0.0528 0.6882⎟ R5=⎢ 0.2764 0.6708 -0.6882⎟ R6=⎢-0.2764 -0.6708 -0.6882⎟

⎣-0.5257 -0.6882 -0.5000⎦ ⎣ 0.8507 0.1625 0.5000⎦ ⎣-0.8507 -0.1625 0.5000⎦

⎡-0.4472 0.7236 0.5257⎤ ⎡ 0.4472 -0.7236 0.5257⎤ ⎡-0.4472 -0.2764 -0.8507⎤

R7=⎢ 0.7236 -0.0528 0.6882⎟ R8=⎢ 0.2764 0.6708 0.6882⎟ R9=⎢-0.8944 0.1382 0.4253⎟

⎣ 0.5257 0.6882 -0.5000⎦ ⎣-0.8507 -0.1625 0.5000⎦ ⎣ 0.0000 0.9511 -0.3090⎦

⎡ 0.4472 -0.7236 -0.5257⎤ ⎡-0.4472 -0.8944 0.0000⎤

R10=⎢ 0.8944 0.3618 0.2629⎟ R11=⎢-0.2764 0.1382 -0.9511⎟

⎣ 0.0000 -0.5878 0.8090⎦ ⎣ 0.8507 -0.4253 -0.3090⎦

C.5 Icosàedre

Centre de les cares de l'icosàedre

C VC x y z l b

_____________________________________________________

0 012 1.000 0.000 0.000 0.00 0.00

1 013 0.745 0.667 0.000 41.81 0.00

2 456 -0.745 -0.667 0.000 -138.19 0.00

3 457 -1.000 0.000 0.000 180.00 0.00

4 478 -0.745 0.333 -0.577 155.91 -35.26

5 579 -0.745 0.333 0.577 155.91 35.26

6 46A -0.333 -0.745 -0.577 -114.09 -35.26

7 56B -0.333 -0.745 0.577 -114.09 35.26

8 038 0.333 0.745 -0.577 65.91 -35.26

9 139 0.333 0.745 0.577 65.91 35.26

10A 02A 0.745 -0.333 -0.577 -24.09 -35.26

11B 12B 0.745 -0.333 0.577 -24.09 35.26

12C 378 -0.333 0.873 -0.357 110.91 -20.91

13D 379 -0.333 0.873 0.357 110.91 20.91

14E 26A 0.333 -0.873 -0.357 -69.09 -20.91

15F 26B 0.333 -0.873 0.357 -69.09 20.91

16G 48A -0.333 -0.127 -0.934 -159.09 -69.09

17H 59B -0.333 -0.127 0.934 -159.09 69.09

18I 08A 0.333 0.127 -0.934 20.91 -69.09

19J 19B 0.333 0.127 0.934 20.91 69.09

Vèrtexs de l'icosàedre

V CV x y z l b

_____________________________________________________

0 0189G 0.795 0.304 -0.526 20.91 -31.72

1 02CGH 0.795 0.304 0.526 20.91 31.72

2 048CE 0.795 -0.607 0.000 -37.38 0.00

3 13DGH 0.188 0.982 0.000 79.19 0.00

4 159DF -0.795 -0.304 -0.526 -159.09 -31.72

5 23ABH -0.795 -0.304 0.526 -159.09 31.72

6 26ACE -0.188 -0.982 0.000 -100.81 0.00

7 37BDF -0.795 0.607 0.000 142.62 0.00

8 4589I -0.188 0.491 -0.851 110.91 -58.28

9 46EIJ -0.188 0.491 0.851 110.91 58.28

10A 57FIJ 0.188 -0.491 -0.851 -69.09 -58.28

11B 67ABJ 0.188 -0.491 0.851 -69.09 58.28

Matrius de rotació de l'icosàedre

⎡ 0.7454 -0.3333 -0.5774⎤ ⎡-0.7454 0.3333 0.5774⎤ ⎡-1.0000 0.0000 0.0000⎤

R1=⎢ 0.6667 0.3727 0.6455⎟ R2=⎢-0.6667 -0.3727 -0.6455⎟ R3=⎢ 0.0000 -1.0000 0.0000⎟

⎣ 0.0000 -0.8660 0.5000⎦ ⎣ 0.0000 -0.8660 0.5000⎦ ⎣ 0.0000 0.0000 1.0000⎦

⎡-0.7454 -0.6667 0.0000⎤ ⎡-0.7454 0.3333 0.5773⎤ ⎡-0.3333 -0.7454 -0.5774⎤

R4=⎢ 0.3333 -0.3727 0.8660⎟ R5=⎢ 0.3333 -0.5637 0.7558⎟ R6=⎢-0.7454 -0.1667 0.6455⎟

⎣-0.5774 0.6455 0.5000⎦ ⎣ 0.5773 0.7558 0.3090⎦ ⎣-0.5774 0.6455 -0.5000⎦

⎡-0.3333 0.8727 0.3568⎤ ⎡ 0.3333 0.7454 0.5774⎤ ⎡ 0.3333 0.7454 -0.5774⎤

R7=⎢-0.7454 -0.4757 0.4671⎟ R8=⎢ 0.7454 0.1667 -0.6455⎟ R9=⎢ 0.7454 0.1667 0.6455⎟

⎣ 0.5774 -0.1103 0.8090⎦ ⎣-0.5774 0.6455 -0.5000⎦ ⎣ 0.5774 -0.6455 -0.5000⎦

⎡ 0.7454 0.6667 0.0000⎤ ⎡ 0.7454 -0.3333 -0.5773⎤ ⎡-0.3333 0.8727 -0.3568⎤

R10=⎢-0.3333 0.3727 -0.8660⎟ R11=⎢-0.3333 0.5637 -0.7558⎟ R12=⎢ 0.8727 0.1424 -0.4671⎟

⎣-0.5774 0.6455 0.5000⎦ ⎣ 0.5773 0.7558 0.3090⎦ ⎣-0.3568 -0.4671 -0.8090⎦

⎡-0.3333 -0.1273 -0.9342⎤ ⎡ 0.3333 0.1273 -0.9342⎤ ⎡ 0.3333 0.7454 -0.5774⎤

R13=⎢ 0.8727 0.3333 -0.3568⎟ R14=⎢-0.8727 -0.3333 -0.3568⎟ R15=⎢-0.8727 0.4757 0.1103⎟

⎣ 0.3568 -0.9342 0.0000⎦ ⎣-0.3568 0.9342 0.0000⎦ ⎣ 0.3568 0.4671 0.8090⎦

⎡-0.3333 -0.7454 0.5773⎤ ⎡-0.3333 -0.1273 0.9342⎤ ⎡ 0.3333 0.7454 -0.5773⎤

R16=⎢-0.1273 0.6423 0.7558⎟ R17=⎢-0.1273 -0.9757 -0.1784⎟ R18=⎢ 0.1273 -0.6423 -0.7558⎟

⎣-0.9342 0.1784 -0.3090⎦ ⎣ 0.9342 -0.1784 0.3090⎦ ⎣-0.9342 0.1784 -0.3090⎦

⎡ 0.3333 0.1273 -0.9342⎤

R19=⎢ 0.1273 0.9757 0.1784⎟

⎣ 0.9342 -0.1784 0.3090⎦

E Centres de les cares i vèrtexs de l'hosòedre i el díedre esfèric

E.1 Hosòedre

Centres de les cares de l'hosòedre n-gonal

C VC x y z l b

_____________________________________________________________

k=0,...,n-1 Tots cos k(360/n) sin k(360/n) 0 k(360/n) 0

Vèrtexs de l'hosòedre

V CV x y z l b

_________________________________

Pol nord Totes 0 0 +1 -- +90

Pol sud Totes 0 0 −1 -- −90

Matrius de rotació per a l'hosòedre n-gonal

⎡cos k(360/n) -sin k(360/n) 0⎤

Rk= ⎢sin k(360/n) cos k(360/n) 0⎟, k= 1, ..., n-1

⎣0 0 1⎦

E.2 Díedre esfèric

Centres de les cares del díedre esfèric

F VC x y z l b

______________________________________

Hemisferi nord Tots 0 0 +1 -- +90

Hemisferi sud Tots 0 0 −1 -- −90

Vèrtexs del díedre esfèric n-gonal

V CV x y z l b

______________________________________________________________

k=0,...,n-1 Totes cos k(360/n) sin k(360/n) 0 k(360/n) 0

Matriu de transformació d'una cara a l'altra del díedre esfèric

⎡±1 0 0⎤

S= ⎢ 0 ±1 0⎟

⎣ 0 0 -1⎦

Depenent dels signes, la transformació pot ser una rotació (signes diferents: rotació al voltant de l'eix amb signe "+") o una simetria (signes iguals: "+" per a una simetria plana; "-" per a una simetria puntual).