16 Mosaics esfèrics

Anterior: 15 Oslo

Següent: 17 Punt de creu

El programa mosaic_ball és una eina per dibuixar mosaics sobre una bola esfèrica. Utilitza el mateix motor que mosaic i el mateix fitxer de definició per als mosaics, amb unes poques diferències. La representació del mosaic sobre l'esfera es fa amb el programa yarnball, desenvolupat per Pau Estalella. Els detalls es donen a la pàgina de mosaic_ball.

La tessel·lació de l'esfera amb un patró regular es pot fer utilitzant políedres esfèrics, és a dir, políedres amb cares que són parts de la mateixa superfície esfèrica. La majoria de políedres esfèrics són la projeció central d'un políedre regular (és a dir, amb cares planes) sobre l'esfera circumscrita, però alguns no tenen com a contrapartida un políedere regular amb cares planes, perquè els polígons resultants són degenerats. Els cinc políedres regulars, també anomenats sòlids platònics, donen cinc maneres diferents de tessel·lar l'esfera. A més dels cinc políedres regulars, també es pot tessel·lar l'esfera amb hosòedres (la típica pilota de platja amb llunes per cares) i el díedre esfèric (dos hemisferis).

Fig. 16.1: Tessel·lació de l'esfera utilitzant la projecció dels cinc políedres regulars i un políedre degenerat, un hosòedre.

Tetràedre

Hexàedre

Octàedre

Dodecàedre

Icosàedre

Hosòedre hexagonal

16.1 Característiques dels políedres regulars

Els políedres regulars tenen cares planes que són polígons regulars. Les cares només poden ser triangles equilàters, quadrats o pentàgons regulars. Els políedres amb cares triangulars tenes vèrtexs que poden estar formats per tres, quatre, o cinc triangles. Per als políedres amb cares quadrades o pentagonals els vèrtexs només poden estar formats per tres quadrats o pentàgons. En total, hi ha cins políedres regulars (també anomenats els cinc sòlids platònics), el tetràedre (quatre cares triangulars), l'hexàedre o cub (sis cares quadrades), l'octàedre (vuit cares triangulars), el dodecàedre (dotze cares pentagonals) i l'icosàedre (vint cares triangulars).

Per a cada políedre es pot formar un altre políedre (el seu dual) prenent com a vèrtexs els centres de les cares del primer políedre. Així, hi ha dues parelles de políedres duals un de l'altre, la parela hexàedre-octàedre i la parella dodecàedre-icosàedre. Per altra banda, el tetràedre és dual d'ell mateix.

Les característiques dels políedres regulars són les següents:

Políedre NC NV NA AC CV

______________________________________

Tetràedre 4 4 6 3 3

Hexàedre 6 8 12 4 3

Octàedre 8 6 12 3 4

Dodecàedre 12 20 30 5 3

Icosàedre 20 12 30 3 5

(NC = nombre de cares, NV = nombre de vèrtexs, NA = nombre d'arestes, AC = nombre d'arestes de la cara poligonal, CV = nombre de cares que formen un vèrtex)

16.2 Políedres esfèrics sense contrapartida regular

A més del políedres regulars projectats sobre una esfera, hi ha dos tipus de políedres esfèrics que no tenen correspondència amb cap poliédre regular (és un políedre degenerat), que també tessel·len l'esfera.

Hosòedre (del grec 𝜊𝜎𝜊𝜍, hóssos, "tant com faci falta"). La divisió de l'esfera en llunes (com una pilota de platja) correspon a un hosòedre n-gonal, format per n llunes, fusos esfèrics, o dígons (polígons amb dos costats, sense equivalència al pla), amb dos vèrtexs en punts antipodals (els pols).
Díedre esfèric*. La divisió de l'esfera en dos hemisferis correspon al díedre esfèric. Encara que formalment hi ha infinits díedres n-gonals, tots formen la mateixa tessel·lació de l'esfera. El díedre n-gonal i l'hosòedre n-gonal són duals un de l'altre. El díedre esfèric més simple és el díedre monogonal, amb un únic vèrtex a l'única aresta (un punt arbitrari de l'equador que separa els dos hemisferis). En general, el díedre n-gonal té n vèrtexs distribuits regularment al llarg de l'equador. El díedre digonal coincideix amb l'hosòedre digonal i, per tant, quant a la tessel·lació de l'esfera, no cal considerar separadament el díedre esfèric.

(* A no confondre amb el díedre o angle dièdric, format per la intersecció de dos plans.)

Políedre esfèric NC NV NA AC CV

______________________________________

Hosòedre n 2 n 2 n

Díedre esfèric 2 n n n 2

(NC = nombre de cares, NV = nombre de vèrtexs, NA = nombre d'arestes, AC = nombre d'arestes de la cara poligonal, CV = nombre de cares que formen un vèrtex)

Exemple de tessel·lació amb dos tetràedres duals.

Exemple de tessel·lació amb una parella dual hexàedre-octàedre.

Exemple de tessel·lació amb una parella dual dodecàedre-icosàedre.

Exemple de tessel·lació amb una parella dual hosòedre hexagonal-díedre esfèric.

16.3 Boles temari

Fig. 16a: Bola temari tradicional japonesa amb una divisió de combinació C10.

Fig. 16b: Bola temari tradicional japonesa amb una divisió simple S16.

Les tradicional boles temari del Japó són impressionants exemples de tessel·lació de l'esfera fets amb brodat. Podeu veure'n uns exemples a la Fig. 16. Es fan dividint l'esfera en una de les tres divisions estàndard: simple (Tanjyun toubun), combinació 8 (Hattitobun no kumiawase) o combinació 10 (Jyuttoubu no kumiawase). Tanmateix, aquestes divisions no són regulars (els triangles resultants no són equilàters).

La divisió simple Sn és la tessel·lació amb un hosòedre n-gonal, més l'equador com a línia de divisió addicional. Les divisions simples habituals inclouen S4, S5, S6, S8, S10, S12, S16 (Fig. 16.2).
Les divisions de combinació C8 i C10 estàn basades en la tessel·lació amb un políedre o el seu dual amb línies de divisió addicionals des de cada centre de cara al vèrtexs i als punts mitjans de les arestes. La C8 s'obté d'aquesta forma de l'hexàedre o el seu dual, l'octàedre. La C10 s'obté del dodecàedre o el seu dual, l'icosàedre. El tetràedre, que és dual d'ell mateix, defineix una altra divisió de combinació, la C6. La divisió C6 només apareix a uns pocs llibres japonesos i es considera una divisió extra, no estàndard (Fig. 16.3).

Els exemples de divisions simples de la Figura 16.2 s'han dibuixat definint PH -6, PH -9, o PH -16 i els entrellaçps següents:

I1 3 P2 P0 P3

I2 2 P0 P1

Els exemples de divisions de combinació de la Fig. 16.3 s'han dibuixat definint PH 1, PH 2, o PH 4 i els entrellaços següents:

I1 3 P2 P0 P1

I2 3 P2 P3 P1

I3 2 P0 P3

Fig. 16.2a: Divisió simple S6, a partir d'un hosòedre hexagonal (PH -6).

Fig. 16.2b: Divisió simple S9, a partir d'un hosòedre nonagonal (PH -9).

Fig. 16.2c: Divisió simple S16, a partir d'un hosòedre hexadecagonal (PH -16).

Fig. 16.3a: Divisió de combinació C6, a partir d'un tetràedre (PH 1).

Fig. 16.3b: Divisió de combinació C8, a partir d'un hexàedre o un octàedre (PH 2 o 3).

Fig. 16.3c: Divisió de combinació C10, a partir d'un dodecàedre o un icosàedre (PH 4 o 5).

16.4 Mosaics plans projectats sobre boles i altres mosaics esfèrics

Els mosaics plans amb SY 4 es poden representar fàcilment sobre una esfera utilitzant una tessel·lació hexaèdrica, PH 2. Els exemples a continuació provenen de mosaics plans mostrats abans.