RIEMANNIAN GEOMETRY

(ΕΠΙΔΙΩΚOΜΕΝΗ) ΥΛΗ 

Διαφορίσιμες Πολλαπλότητες

0. Θεωρήματα αντίστροφης και πεπλεγμένης απεικόνισης. Επιφάνειες στον R3.

1. Διαφορίσιμες πολλαπλότητες και απεικονίσεις.

2. Eφαπτόμενος χώρος. Διαφορικό.

3. Υποπολλαπλότητες

4. Διαμερίσεις της μονάδας

5. Εφαπτόμενη Δέσμη και διανυσματικά πεδία

6. Ολοκλήρωση διανυσματικών πεδίων και ροές

7. Η παράγωγος Lie

Πολλαπλότητες Riemann

1. Μετρικές Riemann

2. Aφινικές συνοχές

3. Γεωδαισιακές και η εκθετική απεικόνιση

4. Η απόσταση Riemann

5. Πληρότητα και το θεώρημα Hopf-Rinow

6. Γεωδαισιακή κυρτότητα

7. Ισομετρίες και το θεώρημα Myers-Steenrod

Καμπυλότητα

1. Ο τανυστής καμπυλότητας Riemann

2. Καμπυλότητα τομής

3. Καμπυλότητα υπερεπιφανειών του Rn, n > 2.

4. Riemannian submersions και οι τύποι του O’Neil

5. Τανυστής του Ricci και πολλαπλότητες Einstein

Γεωμετρία και Τοπολογία

ΑΝΑΦΟΡΕΣ

Riemannian Geometry doCarmo

Riemannian Geometry Σημειώσεις Αθανασόπουλου

Riemann Manifolds Lee

Γιά προαπαιτούμενες γνώσεις καλές αναφορές είναι:

Προπτυχιακές σημειώσεις Κ.Αθανασόπουλου 

Do Carmo, Differential geometry of curves and surfaces

M. Spivak: Calculus on manifolds (υπάρχει μετάφραση στα ελληνικά ΠΕΚ)

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ 

Η αξιολόγηση των φοιτητών θα βασίζεται σε παραδοθείσες ασκήσεις και μία τελική παρουσίαση. Ενδεχόμενα θα υπάρξει και μια τελική γραπτή εξέταση.

ΠΙΘΑΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΕΩΝ

1.Διαμέριση της μονάδας σε πολλαπλότητα, λεία εμφύτευση πολλαπλότητας σε  ευκλείδειο χώρο, ισομετρική εμφύτευση  πολλαπλότητας Riemann σε  ευκλείδειο χώρο.

2. Ισομετρίες και το θεώρημα Myers-Steenrod.

3.