ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ 2025

ΤΑ ΠΡΩΤΑ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΚΟΛΟΥΘΗΣΑΝ ΠΙΣΤΑ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ doCarmo, Κεφ.0. Δεν κάλυψα τα παραδείγματα 4.7, 4.8 και 4.9.

1η συνάντηση. Διαφoρικό (ή παράγωγος κατά Spivak) συνάρτησης Rn -> Rm. Θεωρήματα πεπλεγμένης και αντίστροφης απεικόνισης από Spivak. Επιφάνειες στον 3-διάστατο ευκλείδειο χώρο ("επανάληψη"). Σφαίρα.

2η συνάντηση. Διαφορίσιμες πολλαπλότητες: Ορισμός, χάρτες, άτλας. Παραδείγματα: Rn, προβολικό επίπεδο. Διαφορίσιμη απεικόνιση. 

1ο σετ ασκήσεων: 1. Απόδειξη θεωρημάτων πεπλεγμένης και αντίστροφης συνάρτησης. 2. Η "προπτυχιακή" αλλαγή μεταβλητών είναι διαφορίσιμη. 3. Επαληθεύσατε ότι τα σύνολα του Remark 2.3 από do Carmo όντως oρίζουν τοπολογία και ότι οι απεικονίσεις Xα είναι όντως συνεχείς. 4. Απόδειξη γιά διαμερίσεις της μονάδας στον Rn (πχ Spivak, αποδείξατε όμως  και ότι χρειάζεται).

3η συνάντηση. Εφαπτόμενoς χώρος. Διαφορικό. Αμφιδιαφορισιμότητα.

4η συνάντηση. Immersions (εμβαπτίσεις) & embeddings (εμφυτεύσεις). Υποπολλαπλότητες. 

2ο σετ ασκήσεων:  1.Διατυπώσατε και αποδείξατε κανόνα αλυσίδας γιά σύνθεση διαφορικών σε πολλαπλότητες. Αποδείξατε ότι το διαφορικό αμφιδιαφορίσιμης απεικόνισης είναι ισομορφισμός και το Θεώρημα 2.10 από do Carmo. 2. Στο παράδειγμα 3.5 doCarmo, συμπληρώσατε την καμπύλη με ομαλό τρόπο ώστε να δίνει όντως εμβάπτιση. 3. Πρβλ.11 doCarmo, ch.0 4.Πρβλ.1a doCarmo, ch.0

5η συνάντηση.  Κάθε εμβάπτιση είναι τοπική εμφύτευση. Εφαπτομενική δέσμη.  Επιφάνειες (πάλι). Αντίστροφη εικόνα κανονικής τιμής. 

6η συνάντηση.  Προσανατολισιμότητα. Διανυσματικά πεδία. Lie brackets. Ροές. Διαμερίσεις της μονάδας σε πολλαπλότητα. Εμβαπτίσεις και εμφυτεύσεις σε ευκλείδειους χώρους.

3ο σετ ασκήσεων:    Από σημειώσεις Αθανασοπουλου, κεφ.1. 2,13,15,16,18

ΤO 7o ΜΑΘΗΜΑ ΑΚΟΛΟΥΘΗΣE ΠΙΣΤΑ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ doCarmo, Κεφ.1. Δεν κάλυψα τo παράδειγμα 2.6 (Lie Groups)

7η συνάντηση (3 ώρες). Μετρικές Riemann. Mήκος τμήματος καμπύλης. Όγκος. 

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ 8-9 ΑΚΟΛΟΥΘΗΣΑΝ ΠΙΣΤΑ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ doCarmo, Κεφ.2. 

8η συνάντηση.  Αφινικές συνοχές. Παράλληλη μεταφορά. 

9η συνάντηση. Συνοχές Riemann.  Συνοχή Levi-Civita. 

ΤO 10o ΜΑΘΗΜΑ ΑΚΟΛΟΥΘΗΣE ΠΙΣΤΑ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ doCarmo, Κεφ.3, section 2, εκτός της τελευταίας παραγράφου (μετά το παράδειγμα 2.11).

10η συνάντηση (3 ώρες). Γεωδαισιακές. Εκθετική απεικόνιση.

4ο σετ ασκήσεων:    1. Ορισμός όγκου: να αποδειχθεί η ανεξαρτησία από την επιλογή διαμέρισης της μονάδας. 2. Να δοθεί απόδειξη ύπαρξης (τουλάχιστον μιάς) αφινικής συνοχής σε πολλαπλότητα Hausdorff με αριθμήσιμη βάση ανοικτών. 3. Άσκηση 8 από κεφ.0 do Carmo. 4. Από προπτυχιακες σημειώσεις Αθανασοπουλου, κεφ.2. άσκηση 12. (ταινία Μöbius). 5. Άσκηση 3 από κεφ.1 do Carmo (δείτε την 2 γιά έμπνευση) 6. Άσκηση 6 από κεφ.1 do Carmo. 7. Άσκηση 4 από κεφ.2 do Carmo. 8. Άσκηση 9 από κεφ.2 do Carmo. 

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ 11-14 ΑΚΟΛΟΥΘHΣΑΝ ΤΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΘΑΝΑΣΟΠΟΥΛΟΥ, σελ. 56-57, 59-62 και τις προτάσεις 3.6, 3.7, 3.8, 3.9 από do Carmo. Επίσης την παράγραφο 4 από Κεφ.3, do Carmo. 

11η συνάντηση (3 ώρες). Γεωδαισιακές: 3 κλασσικά παραδείγματα και μη Ευκλείδειες γεωμετρίες. Απόσταση Riemann. Γεωδαισιακή μπάλα. Κανονικές γειτονιές.

12η συνάντηση.  Λήμμα Gauss. Πρώτη ιδιότητα ελαχιστοποίησης μήκους (do Carmo Prop.3.6; Αθανασόπουλος 3.5.3). 

13η συνάντηση.  Oμοιόμορφα κανονικές γειτονιές (Αθανασόπουλος λήμμα 3.4.7, do Carmo Prop. 3.7, παρατήρηση 3.8). 

14η συνάντηση. Δεύτερη ιδιότητα ελαχιστοποίησης μήκους (do Carmo 3.9). Πληρότητα της μετρικής d (3.5.4 και 3.5.5 από Αθανασόπουλο). Κυρτές (ομοιόμορφα  κανονικές) γειτονιές (παράγραφος 4 από Κεφ.3, do Carmo). 

5ο σετ ασκήσεων:   Ασκήσεις 1,4,5,6,8,9,10 από κεφ.3 do Carmo

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ 15-16 ΑΚΟΛΟΥΘHΣΑΝ ΠΙΣΤΑ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ doCarmo, Κεφ.4. 

15η συνάντηση.Τανυστής καμπυλότητας.

16η συνάντηση. Καμπυλότητα τομής. Kαμπυλότητα Ricci. Βαθμωτή  καμπυλότητα.

ΜΑΘΗΜΑTA 17-18:  ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΘΑΝΑΣΟΠΟΥΛΟΥ, Κεφ.1,2,3,4

17η συνάντηση.     Καμπυλότητα καμπύλης. Επιφάνειες στον R3.  Καμπυλότητα Gauss. Θεμελιώδεις μορφές.

18η συνάντηση.   Ισομετρία επιφανειών και Theorema Egregium στον R3.

TA ΜΑΘΗΜΑTA 19-20 ΑΚΟΛΟΥΘΗΣΑΝ ΠΙΣΤΑ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ  doCarmo, Κεφ.6 παράγραφοι 1,2.

19η συνάντηση. Ισομετρικές εμβαπτίσεις και δεύτερη θεμελιώδης μορφή.

6ο σετ ασκήσεων:     1. Απόδειξη της Proposition 2.2 (i) από κεφ.4 do Carmo.  2. Ασκηση 3, από κεφ.2 do Carmo. 3. Ασκήσεις 2,3,4,7,9,10 από κεφ.4 do Carmo

20η συνάντηση. Ισομετρικές εμβαπτίσεις και δεύτερη θεμελιώδης μορφή. Θεμελιώδης εξίσωση Gauss. Καμπυλότητα Gauss & καμπυλότητα τομής. Γεωδαισιακές εμβαπτίσεις. 

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ:  Από do Carmo 

Κεφ.0: 4,6, 

Κεφ.2: 1,2,5

Κεφ.3: 2, 14 (αν θέλετε χρησιμοποιήστε το αποτέλεσμα της 13)

Κεφ.6: 1,2,8

ΠΑΡΑΔΟΤΕΕΣ  27/1/2026

 OI ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΕΙΣ ΘΑ ΓΙΝΟΥΝ 27 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟY 2026, 2μμ 

21η συνάντηση. Ισομετρίες και το θεώρημα Myers-Steenrod.

22η συνάντηση. Πληρότητα και το θεώρημα Hopf-Rinow.

23η συνάντηση. Riemannian submersions και οι τύποι του O’Neil.

24η συνάντηση. Εμβυθίσεις, καμπυλότητα, και θεμελιώδεις εξισώσεις Gauss, Ricci, Codazzi.