ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ 2025

ΤΑ ΠΡΩΤΑ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΚΟΛΟΥΘΗΣΑΝ ΠΙΣΤΑ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ doCarmo, Κεφ.0. Δεν κάλυψα τα παραδείγματα 4.7, 4.8 και 4.9.

1ο μάθημα 24/9  3-5μμ.  B214. Διαφoρικό (ή παράγωγος κατά Spivak) συνάρτησης Rn -> Rm. Θεωρήματα πεπλεγμένης και αντίστροφης απεικόνισης από Spivak. Επιφάνειες στον 3-διάστατο ευκλείδειο χώρο ("επανάληψη"). Σφαίρα.

2ο μάθημα 25/9 3-5 μμ.  B208.  Διαφορίσιμες πολλαπλότητες: Ορισμός, χάρτες, άτλας. Παραδείγματα: Rn, προβολικό επίπεδο. Διαφορίσιμη απεικόνιση. 

Ασκήσεις γιά 1/10: 1. Απόδειξη θεωρημάτων πεπλεγμένης και αντίστροφης συνάρτησης. 2. Η "προπτυχιακή" αλλαγή μεταβλητών είναι διαφορίσιμη. 3. Επαληθεύσατε ότι τα σύνολα του Remark 2.3 από do Carmo όντως oρίζουν τοπολογία και ότι οι απεικονίσεις Xα είναι όντως συνεχείς. 4. Απόδειξη γιά διαμερίσεις της μονάδας στον Rn (πχ Spivak, αποδείξατε όμως  και ότι χρειάζεται).

3o μάθημα 1/10 3-5 μμ.  B208. Εφαπτόμενoς χώρος. Διαφορικό. Αμφιδιαφορισιμότητα.

4o μάθημα 2/10 3-5 μμ.  B208. Immersions (εμβαπτίσεις) & embeddings (εμφυτεύσεις). Υποπολλαπλότητες. 

Ασκήσεις γιά 15/10: 1.Διατυπώσατε και αποδείξατε κανόνα αλυσίδας γιά σύνθεση διαφορικών σε πολλαπλότητες. Αποδείξατε ότι το διαφορικό αμφιδιαφορίσιμης απεικόνισης είναι ισομορφισμός και το Θεώρημα 2.10 από do Carmo. 2. Στο παράδειγμα 3.5 doCarmo, συμπληρώσατε την καμπύλη με ομαλό τρόπο ώστε να δίνει όντως εμβάπτιση. 3. Πρβλ.11 doCarmo, ch.0 4.Πρβλ.1a doCarmo, ch.0

5o μάθημα 15/10 3-5 μμ.  B208.  Κάθε εμβάπτιση είναι τοπική εμφύτευση. Εφαπτομενική δέσμη.  Επιφάνειες (πάλι). Αντίστροφη εικόνα κανονικής τιμής. 

6o μάθημα 16/10 3-5 μμ.  B208.  Προσανατολισιμότητα. Διανυσματικά πεδία. Lie brackets. Ροές. Διαμερίσεις της μονάδας σε πολλαπλότητα. Εμβαπτίσεις και εμφυτεύσεις σε ευκλείδειους χώρους.

Ασκήσεις γιά 23/10:   Από σημειώσεις Αθανασοπουλου, κεφ.1. 2,13,15,16,18

ΤO 7o ΜΑΘΗΜΑ ΑΚΟΛΟΥΘΗΣE ΠΙΣΤΑ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ doCarmo, Κεφ.1. Δεν κάλυψα τo παράδειγμα 2.6 (Lie Groups)

7o μάθημα 23/10 3-6 μμ.  B208. Μετρικές Riemann. Mήκος τμήματος καμπύλης. Όγκος. 

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ 8-9 ΑΚΟΛΟΥΘΗΣΑΝ ΠΙΣΤΑ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ doCarmo, Κεφ.2. 

8o μάθημα 29/10 3-5 μμ.  B208.  Αφινικές συνοχές. Παράλληλη μεταφορά. 

9o μάθημα 30/10 3-5 μμ.  B208.  Συνοχές Riemann.  Συνοχή Levi-Civita. 

ΤO 10o ΜΑΘΗΜΑ ΑΚΟΛΟΥΘΗΣE ΠΙΣΤΑ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ doCarmo, Κεφ.3, section 2, εκτός της τελευταίας παραγράφου (μετά το παράδειγμα 2.11).

10o μάθημα 5/11 3-6 μμ.  B208. Γεωδαισιακές. Εκθετική απεικόνιση.

Ασκήσεις γιά 12/11:   1. Ορισμός όγκου: να αποδειχθεί η ανεξαρτησία από την επιλογή διαμέρισης της μονάδας. 2. Να δοθεί απόδειξη ύπαρξης (τουλάχιστον μιάς) αφινικής συνοχής σε πολλαπλότητα Hausdorff με αριθμήσιμη βάση ανοικτών. 3. Άσκηση 8 από κεφ.0 do Carmo. 4. Από προπτυχιακες σημειώσεις Αθανασοπουλου, κεφ.2. άσκηση 12. (ταινία Μöbius). 5. Άσκηση 3 από κεφ.1 do Carmo (δείτε την 2 γιά έμπνευση) 6. Άσκηση 6 από κεφ.1 do Carmo. 7. Άσκηση 4 από κεφ.2 do Carmo. 8. Άσκηση 9 από κεφ.2 do Carmo. 

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ 11-12 ΑΚΟΛΟΥΘOYΝ ΤΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΘΑΝΑΣΟΠΟΥΛΟΥ, σελ. 56-65.

11o μάθημα 12/11 3-6 μμ.  B208. Γεωδαισιακές: 3 κλασσικά παραδείγματα. Απόσταση Riemann. Λήμμα Gauss. Iδιότητα ελαχιστοποίησης μήκους (do Carmo Prop.3.6). 

12o μάθημα 13/11 2-5 μμ.  B208. Γεωδαισιακές. Πληρότητα. Hopf-Rinow.

 OI ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΕΙΣ ΘΑ ΓΙΝΟΥΝ ΤΟΝ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟ 2026