Objetivo científico: Aplicar o Teorema de Lax-Milgram na obtenção de existência e unicidade de soluções do problema de valor de fronteira para a equação de Poisson.
Objetivo de formação: Fornecer uma base sólida e introdutória ao estudo de equações diferenciais parciais.
Disciplinas essenciais: Números e Funções Reais, Vetores e Geometria Analítica, Cálculo A, Cálculo B, Álgebra Linear 1.
Disciplinas recomendadas: Análise na Reta, Espaços Métricos.
Um dos problemas centrais na análise é a obtenção de existência e unicidade de solucões de equações diferenciais. Em termos práticos, tal tarefa é de suma importância uma vez que fenômenos da natureza não raramente são modelados por equações diferenciais parciais e, desta forma, estabelecer a existência e unicidade de suas soluções fornece comportamentos únicos esperados de soluções de tal modelo. Neste projeto, busca-se estudar o Teorema de Lax-Milgram, um resultado em Análise Funcional que caracteriza funcionais lineares definidos em espaços de Hilbert em termos de formas sesquilineares e coercivas, para utilização na determinação de existência e unicidade de soluções da equação de Poisson sujeita a valores de fronteira.
Os principais conceitos a serem estudados para desenvolvimento da pesquisa são: espaços de Hilbert e produto interno, Teorema da Representação de Riesz e o Teorema de Lax-Milgram.
Objetivo científico: Deduzir soluções não-classicas para equações diferenciais parciais com aplicações no estudo de águas em regime raso.
Objetivo de formação: Introduzir o discente ao estudo de soluções não-clássicas de equações diferenciais parciais.
Disciplinas essenciais: Números e Funções Reais, Vetores e Geometria Analítica, Cálculo A, Cálculo B, Álgebra Linear 1.
Disciplinas recomendadas: Análise na Reta, Espaços Métricos.
A chamada equação de Camassa-Holm se tornou famosa em 1993 ao se descobrir, dentre outras coisas, soluções com uma propriedade curiosa: apenas continuidade global, com perda de diferenciabilidade em um ponto cujo gráfico representa um pico. Essa solução não representa uma solução clássica e sim uma solução fraca por não apresentar grau de diferenciabilidade compatível com a ordem da equação de Camassa-Holm. Necessita-se então definir o conceito de solução fraca e, mais ainda, derivadas fracas a fim de entender em que sentido essas funções são, de fato, soluções da equação de Camassa-Holm.
Os principais conceitos a serem estudados para desenvolvimento da pesquisa são: espaços de Hilbert e produto interno, funções localmente Lp e espaço de distribuições.
Objetivo científico: Obter simetrias de Lie e leis de conservação para uma equação com aplicação na Física de plasmas.
Objetivo de formação: Introduzir o discente ao estudo de simetrias de Lie e cálculo simbólico via Mathematica.
Disciplinas essenciais: Números e Funções Reais, Vetores e Geometria Analítica, Cálculo A, Cálculo B, Álgebra Linear 1, Fundamentos de Álgebra.
Disciplinas recomendadas: Análise na Reta.
A equação de KdV-ZK é uma importante e interessante equação diferencial parcial usada para descrever o efeito de campos magnéticos em ondas íon-acústicas fracas não-lineares. Como toda equação diferencial não linear, a obtenção de propriedades quantitativas é de difícil realização, de forma que o propósito deste projeto é investigar simetrias de Lie, leis de conservação e soluções especiais da equação.
Os principais conceitos a serem estudados para desenvolvimento da pesquisa são: grupos de transformações a 1-parâmetro, simetrias de Lie, invariância e leis de conservação.
Objetivo científico: Estudar quantitativa e qualitativamente soluções não-clássicas de equações com aplicações no estudo de águas em regime raso.
Objetivo de formação: Introduzir o discente ao estudo de propriedades qualitativas de equações diferenciais não-localmente evolutivas.
Disciplinas essenciais: Análise na Reta, Álgebra Linear, Cálculo Avançado, Topologia.
Disciplinas recomendadas: Equações Diferenciais Ordinárias, Análise Funcional.
A chamada equação de Camassa-Holm se tornou famosa em 1993 ao se descobrir, dentre outras coisas, soluções com duas propriedades curiosas: 1) apenas continuidade, com perda de diferenciabilidade em um ponto cujo gráfico representa um pico; 2) comportamento de colisão elástica, na qual se conserva energia. Essa solução, chamada de peakon por Camassa e Holm, se tornou um dos principais objetos de estudo nas duas décadas que seguiram e suas propriedades são bem estudadas, porém não tão bem compreendidas. Neste aspecto, o estudo aqui apresenta uma grande gama de possibilidades que envolvem a dedução da solução peakon para a equação de Camassa-Holm, propriedades de estabilidade orbital dessa solução e má colocação em espaços de Sobolev.
Os principais conceitos a serem estudados para desenvolvimento da pesquisa são: transformada de Fourier, espaços de Sobolev e espaço de distribuições.
Objetivo científico: Estudar quantitativa e qualitativamente soluções do tipo pseudo-peakon.
Objetivo de formação: Introduzir o discente ao estudo de soluções não-clássicas de equações do tipo Camassa-Holm.
Disciplinas essenciais: Análise na Reta, Álgebra Linear, Cálculo Avançado.
Disciplinas recomendadas: Equações Diferenciais Ordinárias, Análise Funcional.
Em linha com o tópico anterior, soluções pseudo-peakon surgiram uma década depois do trabalho de Camassa e Holm e são soluções que se assemelham a soluções peakon, mas que possuem um grau de diferenciabilidade a mais. Todavia, essas soluções ainda se caracterizam como soluções fracas. Baseados em trabalhos recentes da orientadora, neste projeto busca-se investigar propriedades qualitativas de tais soluções, tais quais colisões, estabilidade e má colocação, bem como a dedução de novas soluções do tipo pseudo-peakon inexistentes na literatura.
Os principais conceitos a serem estudados para desenvolvimento da pesquisa são: espaços de Hilbert e produto interno, funções localmente Lp e espaço de distribuições.
Objetivo científico: investigar o uso do inverse scattering transform e do unified transform method como extensões da transformada de Fourier.
Objetivo de formação: Introduzir o discente ao estudo de propriedades de soluções de equações diferenciais parciais evolutivas por meio da transformada de Fourier.
Disciplinas essenciais: Análise na Reta, Álgebra Linear, Cálculo Avançado.
Disciplinas recomendadas: Equações Diferenciais Ordinárias, Análise Funcional.
[...]
Os principais conceitos a serem estudados para desenvolvimento da pesquisa são: espaços de Lp, transformada de Fourier, espaços de Hilbert e espectro de operadores densamente definidos e fechados.
Os principais conceitos a serem estudados para desenvolvimento da pesquisa são: transformada de Fourier, espaços de Sobolev, Teorema do Ponto Fixo de Banach, Teorema de Kato/regularização parabólica, Teorema de Kato-Masuda.
Os principais conceitos a serem estudados para desenvolvimento da pesquisa são: transformada de Fourier, espaços de Sobolev, princípio de Duhamel, espaços Gevrey e de Bourgain , Teorema do Ponto Fixo de Banach.
Objetivo científico: investigar existência e unicidade de soluções associadas a problemas de valores iniciais e de fronteira de equações evolutivas.
Objetivo de formação: iniciar o discente a problemas de pesquisa atuais e relevantes associados.
Disciplinas essenciais: Funções de Uma Variável Complexa, Análise na Reta, Álgebra Linear.
Disciplinas recomendadas: Equações Diferenciais Parciais, Análise Funcional.
[...]
Os principais conceitos a serem estudados para desenvolvimento da pesquisa são: espaços de Sobolev, transformada de Fourier, Teorema do Ponto Fixo de Banach, interpolação.