Линейная функция (теория)

Линейная функция - функция вида y = kx + b ( для функции одной переменной)

Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности.

Графиком линейной функции является прямая линия, с чем и связано её название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.

Частный случай b = 0 линейной функции называется однородными линейными функциями (это в сущности синоним прямой пропорциональности), в отличие от b ≠ 0 — неоднородных линейных функций.

Свойства:

K (угловой коэффициент прямой) является тангенсом угла A, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс

При k > 0, прямая образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс

При k < 0 , прямая образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс

При k = 0 , прямая параллельна оси абсцисс

b является показателем ординаты точки пересечения прямой с осью ординат.

При b = 0, прямая проходит через начало координат

Линейная функция нескольких переменных

Линейная функция n переменных x = (х1, х2,…, хn)— функция вида

F ( x ) = a0 + a1x1 + a2x2 + … + анХн

Где a0, a1,a2, … , ан — некоторые фиксированные числа. Областью определения линейной функции является всё N-мерное пространство переменных вещественных или комплексных.

При a = 0 линейная функция называется однородной, или линейной формой.

Если все переменные х0, х1, х2, … , хн { и коэффициенты a0, a1,a2, … , ан — вещественные числа, то графиком линейной функции в (n+1){\displaystyle (n+1)}-мерном пространстве переменных х1, х2, … , xн, является n-мерная гиперплоскость

Y = a0 + a1x1 + a2x2 + … + анХн

В частности при ( n +1 ) — прямая линия на плоскости.

*Нелинейные функции

Для функций, не являющихся линейными, употребляют термин нелинейные функции. То же относится и к употреблению слова нелинейные в отношении других объектов, не обладающих свойством линейности, например — нелинейные дифференциальные уравнения. Обычно термин используется, когда функциональную зависимость вначале приближают линейной, а потом переходят к изучению более общего случая, часто начиная с младших степеней, например, рассматривая квадратичные поправки.

Нелинейные уравнения достаточно произвольны.

К примеру, нелинейной является функция:

Y = х2

В ряде случаев этот термин может применяться и к зависимостям f = kx + b , где b≠0 , то есть к неоднородным линейным функциям, поскольку они не обладают свойством линейности