Алгебра

А́лгебра (от араб. اَلْجَبْرُ‎[1] аль-джабр — «восстановление (разрозненных) частей[2], восстановление равенства, уравнение[3], восполнение[4]») — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики; в этом разделе числа и другие математические объекты обозначаются буквами и другими символами, что позволяет записывать и исследовать их свойства в самом общем виде. Слово «алгебра» также употребляется в общей алгебре в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под «алгеброй» понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множеств произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел[5].

Классификация

Алгебра как раздел математики традиционно включает следующие категории.

• Элементарная алгебра, которая изучает свойства операций с вещественными числами. В ней постоянные и переменные обозначаются буквенными символами. Элементарная алгебра содержит правила преобразования алгебраических выражений и уравнений с использованием этих символов. Обычно преподаётся в школе под названием алгебра[6].

• Общая алгебра, иногда называемая современной алгеброй или абстрактной алгеброй, где аксиоматизируются и изучаются максимально общие алгебраические структуры, такие, как группы, кольца и поля.

• Универсальная алгебра, в которой изучаются свойства, общие для всех алгебраических структур (считается подразделом общей алгебры).

• Линейная алгебра, в которой изучаются свойства векторных пространств (включая матрицы).

• Алгебраическая комбинаторика, в которой методы абстрактной алгебры используются для изучения вопросов комбинаторики.

Элементарная алгебра

Основная статья: Элементарная алгебра

Формула корней квадратного уравнения выражает решение уравнения второй степени 

ax2+bx+c=0

 через его коэффициенты 

a,b,c

, где 

a

 не равно нулю.

Элементарная алгебра — раздел алгебры, который изучает самые базовые понятия. Обычно изучается после изучения основных понятий арифметики. В арифметике изучаются числа и простейшие (+, −, ×, ÷) действия с ними. В алгебре числа заменяются на переменные (

a,b,c,x,y

 и так далее). Такой подход полезен, потому что:

• Позволяет получить общее представление законов арифметики (например, 

• a+b=b+a

•  для любых 

• a

•  и 

• b

• ), что является первым шагом к систематическому изучению свойств действительных чисел.

• Позволяет ввести понятие «неизвестного», сформулировать уравнения и изучать способы их решения. (Для примера, «Найти число x, такое что 

• 3x+1=10

• » или, в более общем случае, «Найти число x, такое, что 

• ax+b=c

• ». Это приводит к выводу, что нахождение значения переменной кроется не в природе чисел из уравнения, а в операциях между ними.)

• Позволяет сформулировать понятие функции. (Для примера, «Если вы продали 

• x

•  билетов, то ваша прибыль составит 

• 3x−10

•  рублей, или 

• f(x)=3x−10

• , где 

• f

•  — функция, и 

• x

•  — число, от которого зависит функция»)

Линейная алгебра

Основная статья: Линейная алгебра

Линейная алгебра — часть алгебры, изучающая векторы, векторные, или линейные пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений. К линейной алгебре также относят теорию определителей, теорию матриц, теорию форм (например, квадратичных), теорию инвариантов (частично), тензорное исчисление (частично)[7]. Современная линейная алгебра делает акцент на изучении векторных пространств[8].

Линейное, или векторное пространство 

V(F)

 над полем 

F

 — это упорядоченная четвёрка 

(V,F,+,⋅)

, где

V

 — непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами;

F

 — (алгебраическое) поле, элементы которого называются скалярами;

+:V×V→V

 — операция сложения векторов, сопоставляющая каждой паре элементов 

x,y

 множества 

V

 единственный элемент множества 

V

, обозначаемый 

x+y

;

⋅:F×V→V

 — операция умножения векторов на скаляры, сопоставляющая каждому элементу 

λ

 поля 

∈F

 и каждому элементу 

x

 множества 

V

 единственный элемент множества 

V

, обозначаемый 

λx

;

причём заданные операции удовлетворяют следующим аксиомам — аксиомам линейного (векторного) пространства:

1. x+y=y+x

2. , для любых 

3. x,y∈V

4.  (коммутативность сложения);

5. x+(y+z)=(x+y)+z

6. , для любых 

7. x,y,z∈V

8.  (ассоциативность сложения);

9. существует такой элемент 

10. θ∈V

11. , что 

12. x+θ=x

13.  для любого 

14. x∈V

15.  (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности 

16. V

17.  не пусто;

18. для любого 

19. x∈V

20.  существует такой элемент 

21. −x∈V

22. , что 

23. x+(−x)=θ

24.  (существование противоположного элемента относительно сложения).

25. α(βx)=(αβ)x

26.  (ассоциативность умножения на скаляр);

27. 1⋅x=x

28.  (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля F сохраняет вектор).

29. (α+β)x=αx+βx

30.  (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);

31. α(x+y)=αx+αy

32. (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Евклидовы пространства, аффинные пространства, а также многие другие пространства, изучаемые в геометрии, определяются на основе векторного пространства. Автоморфизмы векторного пространства над полем образуют группу относительно умножения, изоморфную группе невырожденных квадратных матриц, что связывает линейную алгебру с теорией групп, в частности, с теорией линейных представлений групп[8].

Переход от используемых в линейной алгебре n-мерных векторных пространств к бесконечномерным линейным пространствам нашёл своё отражение в некоторых разделах функционального анализа[7]. Другим естественным обобщением является использование не поля, а произвольного кольца. Для модуля над произвольным кольцом не выполняются основные теоремы линейной алгебры. Общие свойства векторных пространств над полем и модулей над кольцом изучаются в алгебраической К-теории[8].

Общая алгебра

Основная статья: Общая алгебра

Общая алгебра занимается изучением различных алгебраических систем. В ней рассматриваются свойства операций над объектами независимо от собственно природы объектов[5]. Она включает в себя в первую очередь теории групп и колец. Общие свойства, характерные для обоих видов алгебраических систем, привели к рассмотрению новых алгебраических систем: решёток, категорий, универсальных алгебр, моделей, полугрупп и квазигрупп. Упорядоченные и топологические алгебры, частично упорядоченные и топологические группы и кольца, также относятся к общей алгебре[9].

Точная граница общей алгебры не определена. К ней можно также отнести теорию полей, конечных групп, конечномерных алгебр Ли[9].

Теория групп

Основная статья: Теория групп

Непустое множество 

G

 с заданной на нём бинарной операцией 

∗:G×G→G

 называется группой 

(G,∗)

, если выполнены следующие аксиомы:

1. ассоциативность: 

2. ∀(a,b,c∈G):(a∗b)∗c=a∗(b∗c)

3. ;

4. наличие нейтрального элемента: 

5. ∃e∈G∀a∈G:(e∗a=a∗e=a)

6. ;

7. наличие обратного элемента: 

8. ∀a∈G∃a−1∈G:(a∗a−1=a−1∗a=e)

9. 
   

Граф свободной группы порядка 2

Понятие группы возникло в результате формального описания симметрии и эквивалентности геометрических объектов. В теории Галуа, которая и дала начало понятию группы, группы используются для описания симметрии уравнений, корнями которых являются корни некоторого полиномиального уравнения. Группы повсеместно используются в математике и естественных науках, часто для обнаружения внутренней симметрии объектов (группы автоморфизмов). Почти все структуры общей алгебры — частные случаи групп.

Теория колец

Основная статья: Теория колец

Кольцо — множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и × (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами:

1. ∀a,b∈R(a+b=b+a)

2.  — коммутативность сложения;

3. ∀a,b,c∈R(a+(b+c))=((a+b)+c)

4.  — ассоциативность сложения;

5. ∃0∈R∀a∈R(a+0=0+a=a)

6.  — существование нейтрального элемента относительно сложения;

7. ∀a∈R∃b∈R(a+b=b+a=0)

8.  — существование противоположного элемента относительно сложения;

9. ∀a,b,c∈R(a×b)×c=a×(b×c)

10.  — ассоциативность умножения (некоторые авторы не требуют выполнения этой аксиомы[10])

11. ∀a,b,c∈R{a×(b+c)=a×b+a×c(b+c)×a=b×a+c×a

12.  — дистрибутивность.

Универсальная алгебра

Основная статья: Универсальная алгебра

Универсальная алгебра является специальным разделом общей алгебры, который занимается изучением характерных для всех алгебраических систем свойств. Алгебраическая система представляет собой произвольное непустое множество с заданным (возможно, бесконечным) набором конечноарных операций над ним и конечноарных отношений: 

A=⟨A,F,R⟩

, 

F=⟨f1:An1→A,…fi:Ani→A,…⟩

, 

R=⟨r1⊆Am1,…ri⊆Ami,…⟩

. Множество 

A

 в этом случае называется носителем (или основным множеством) системы, набор функциональных и предикатных символов с их арностями 

⟨F,R,⟨n1,…ni,…⟩,⟨m1…mi,…⟩⟩

 — её сигнатурой. Система с пустым множеством отношений называется универсальной алгеброй (в контексте предмета — чаще просто алгеброй), а с пустым множеством операций — моделью или системой отношений, реляционной системой.

В терминах универсальной алгебры, например, кольцо — это универсальная алгебра 

(R,+,×)

, такая, что алгебра 

(R,+)

 — абелева группа, и операция 

+

 дистрибутивна слева и справа относительно 

×

. Кольцо называется ассоциативным, если мультипликативный группоид является полугруппой.

Раздел рассматривает как собственно универсальные алгебры, так и сопутствующие структуры: моноид всех эндоморфизмов 

EndA

, группа всех автоморфизмов 

AutA

, решётки всех подалгебр 

SubA

 и всех конгруэнций 

ConA

[11].

Универсальная алгебра находится на стыке логики и алгебры[9].

Исторический очерк

Древний Восток

Истоки алгебры уходят к временам глубокой древности. Арифметические действия над натуральными числами и дробями — простейшие алгебраические операции — встречаются в ранних математических текстах[6]. Ещё в 1650 году до н. э. египетские писцы могли решать отвлечённые уравнения первой степени и простейшие уравнения второй степени, к ним относятся задачи 26 и 33 из папируса Ринда и задача 6 из Московского папируса (так называемые задачи на «аха»). Предполагается, что решение задач было основано на правиле ложного положения[12]. Это же правило, правда, крайне редко, использовали вавилоняне[13].

Вавилонские математики умели решать квадратные уравнения. Они имели дело только с положительными коэффициентами и корнями уравнения, так как не знали отрицательных чисел. По разным реконструкциям в Вавилоне знали либо правило для квадрата суммы, либо правило для произведения суммы и разности, вместе с тем метод вычисления корня полностью соответствует современной формуле. Встречаются и уравнения третьей степени[14]. Кроме того, в Вавилоне была введена особая терминология, использовались шумерские клинописные знаки для обозначения первого неизвестного («длины»), второго неизвестного («ширины»), третьего неизвестного («глубины»), а также различных производных величин («поля» как произведения «длины» и «ширины», «объёма» как произведения «длины», «ширины» и «глубины»), которые можно считать математическими символами, так как в обычной речи уже использовался аккадский язык. Несмотря на явное геометрическое происхождение задач и терминов, использовались они отвлечённо, в частности, «площадь» и «длина» считались однородными[13]. Для решения квадратных уравнений было необходимо уметь осуществлять различные тождественные алгебраические преобразования, оперировать неизвестными величинами. Таким образом был выделен целый класс задач, для решения которых необходимо пользоваться алгебраическими приёмами[14].

За 2000 лет до нашего времени китайские учёные решали уравнения первой степени и их системы, а также квадратные уравнения (см. Математика в девяти книгах). Они уже знали отрицательные и иррациональные числа. Поскольку в китайском языке каждый символ обозначает понятие, то сокращений не было. Наряду с индийскими и исламскими математиками, китайские математики открыли «треугольник Паскаля» задолго до европейцев[15].

Древняя Греция

После того как была открыта несоизмеримость стороны и диагонали квадрата, греческая математика переживала кризис, разрешению которого способствовал выбор геометрии как основы математики и определение алгебраических операций для геометрических величин. Геометрической алгебре посвящена вторая книга «Начал» Евклида, работы Архимеда и Аполлония. С использованием отрезков, прямоугольников и параллелепипедов были определены сложение и вычитание, произведение (построенный на двух отрезках прямоугольник). Такое представление позволило доказать дистрибутивный закон умножения относительно сложения, тождество для квадрата суммы. Алгебра первоначально была основана на планиметрии и приспособлена в первую очередь для решения квадратных уравнений[16]. Вместе с тем к алгебраическим уравнениям сводятся сформулированные пифагорейцами задачи об удвоении куба и трисекции угла, построение правильных многоугольников[17]. Решение кубических уравнений получило своё развитие в работах Архимеда (сочинения «О шаре и цилиндре» и «О коноидах и сфероидах»), который исследовал в общем виде уравнение 

x3+ax+b=0

. Отдельные задачи решались с помощью конических сечений[18].

Неожиданный переход к алгебре, основанной на арифметике, произошёл в работах Диофанта, который ввёл буквенные обозначения: неизвестное число он назвал «число», вторую степень неизвестного — «квадрат», третью — «куб», четвёртую — «квадрато-квадрат», пятую — «квадрато-куб», шестую — «кубо-куб». Также он ввёл обозначения для отрицательных степеней, свободного члена, отрицательного числа (или вычитания) и знака равенства. Диофант знал и использовал правило переноса вычитаемого из одной части уравнения в другую и правило сокращения равных членов[19]. Исследуя уравнения третьей и четвёртой степеней, Диофант для нахождения рациональной точки на кривой использует такие методы геометрической алгебры, как провести касательную в рациональной точке кривой или провести прямую через две рациональные точки. В X веке «Арифметика» Диофанта, в которой он изложил свои методы, была переведена на арабский язык, а в XVI веке достигла Западной Европы, оказав влияние на работы Ферма и Виета. Идеи Диофанта можно заметить также в работах Эйлера, Якоби, Пуанкаре и других математиков вплоть до начала XX века. В настоящее время проблемы Диофанта принято относить к алгебраической геометрии[20].

Исламский мир

Основная статья: Алгебра в исламском мире

Страница из книги аль-Хорезми «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала»

Термин «алгебра» взят из сочинения среднеазиатского учёного аль-Хорезми «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала» (ок. 825 года). Слово «аль-джабр» при этом означало операцию переноса вычитаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, и его буквальный смысл — «восполнение»[4]. «Аль-мукабала» означало отбрасывание в обеих частях равенства равных членов (противоположение). «Аль-джабр» при переводе на латинский язык превратилось в «algebra», а аль-мукабала была отброшена: так появилось название «алгебра». Аль-Хорезми разработал системный подход к решению линейных и квадратных уравнений, заложив основу этой математической дисциплины.

В X—XI веках алгебру расширили Абу Камил и аль-Караджи, введя иррациональные числа, систематизировав операции с многочленами и заложив основы математической индукции. XII век ознаменовался работами Омара Хайяма, который развил геометрическое решение кубических уравнений и дал первое определение алгебры как науки. Аль-Самуал ввёл правила умножения одночленов любых целых степеней и правила деления многочленов, а Шараф ад-Дин Ат-Туси использовал понятия функции и дискриминанта кубического уравнения. Постепенно алгебра перешла от словесных описаний к символическому выражению, что стало важным шагом в её развитии.

Европа

Перевод труда аль-Хорезми на латинский язык способствовал распространению алгебры в Европе и её дальнейшему совершенствованию. В XVI веке в Европе были открыты способы решения уравнений 3 и 4 степеней. Распространение получили отрицательные и комплексные числа. В XIX веке было доказано, что любое уравнение 5 степени и выше нельзя решить алгебраическим способом. Вплоть до второй половины XX века практическое применение алгебры ограничивалось, в основном, решением алгебраических уравнений и систем уравнений с несколькими переменными.

Наше время

Во второй половине XX века началось бурное развитие ряда новых отраслей техники. Появились электронно-вычислительные машины, устройства для хранения, переработки и передачи информации, системы наблюдения типа радара. Проектирование новых видов техники и их использование немыслимо без применения современной алгебры. Так, электронно-вычислительные машины устроены по принципу конечных автоматов. Для проектирования электронно-вычислительных машин и электронных схем используются методы булевой алгебры. Современные языки программирования для ЭВМ основаны на принципах теории алгоритмов. Теория множеств используется в системах компьютерного поиска и хранения информации. Теория категорий используется в задачах распознавания образов, определении семантики языков программирования, и других практических задачах. Кодирование и декодирование информации производится методами теории групп. Теория рекуррентных последовательностей используется в работе радаров. Экономические расчёты невозможны без использования теории графов. Математическое моделирование широко использует все разделы алгебры.

Отец алгебры

Титул «отца алгебры» часто приписывают аль-Хорезми[21][22][23]. Среди прочих, эту точку зрения поддерживают такие историки математики, как Соломон Гандз[24], Карл Бенджамин Бойер[25] и Бартель Леендерт ван дер Варден[26]. Впрочем, иногда данное звание приписывают и Диофанту. Его сторонники указывают, что уравнения, изложенные в «Арифметике», используют некоторые символьные обозначения, тогда как в «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала» уравнения и их решения передаются исключительно словами[27]. Однако историк математики Курт Фогель[англ.] однозначно выступает против того, чтобы Диофант носил этот титул[28], поскольку его арифметика была не намного более алгебраической, чем математика древних вавилонян[29].

Сторонники аль-Хорезми указывают на тот факт, что он дал исчерпывающее и систематическое объяснение алгебраического решения квадратных уравнений с положительными корнями[30]. Он был первым, кто преподавал алгебру в элементарной форме ради самой этой дисциплины, в то время как Диофант в первую очередь занимался теорией чисел[24]. Другие его сторонники добавляют, что в отличие от вавилонских табличек и от «Арифметики» Диофанта его алгебра больше не была связана с рядом задач, которые нужно решить, но с изложением, которое начинается с примитивных терминов, комбинации которых должны дать все возможные виды уравнений, отныне явно становящихся истинным объектом исследования[31]. Виктор Джозеф Кац[англ.] также считает «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала» первым настоящим текстом по алгебре, сохранившимся до наших дней[32].