大家好，我是許柏翰。
我任職於國立中山大學應用數學系。在加入中山大學這個大家庭之前，我在美國的辛辛那提大學服務。
我畢業於國立清華大學，是清大數學系10級的畢業生；畢業之後在國立中央大學數學系接受鄭經斅老師的指導。在那裏，我取得了碩士學位。碩士畢業之後我在中華民國陸軍禮砲連服役，軍事專長是野砲測量。退伍之後我在中研院數學所擔任一年期研習員。
在中研院的時候，我遇到了美國路易斯安那州立大學(LSU)的郭輝雄老師，因此我在2015年負笈美國攻讀博士學位。在LSU的時候，我向郭老師學習他的New integral；另一方面我也跟我的指導教授P. Sundar老師學習隨機微分方程。最後我在2021年取得博士學位，學位論文為 Stochastic Navier-Stokes equations with Markov switching。
這裡是我的CV。
辦公室: 理SC4012
聯絡地址: 80424高雄市鼓山區蓮海路70號 應用數學系
Email address: phsu2 AT math.nsysu.edu.tw
本文面向的是一般讀者以及學生，學術同行請洽英文版。
我的研究圍繞著機率論與其他領域的互動而展開，其中有兩個主要的子題：機率論與數論的互動、機率論與微分方程的互動。
讓我們思考一個問題：我在整數裡面隨意抽取一個數，請問我抽到偶數(2的倍數)的「機率」為何？你會說1/2，但讓我們想想我們是怎麼得到這個1/2的。其實我們在心裡面是這樣想的：「給定x>0，在0到x之間2的倍數總共有x/2個(若x為奇數請取高斯符號)，因此抽到2的倍數的機率為(x/2)/x = 1/2。」順著這個思路下去，請問
在小於x的整數中，抽到一個「具有兩個質因數」的數的機率為何？
這個問題的答案可以由有名的Erdős–Kac theorem定理來回答。
另一方面，讓我們來想下列的問題：
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ...... = ?
假如你學過微積分，你知道上述級數不收斂；假如你學過Cesàro summation，你知道上述級數的「和」是1/2。 今天假如你學過機率，你知道有一種隨機變數叫做伯努利。今天令 X = 1 with prob 1/2 and -1 with prob 1/2。那麼上述級數即可視為一堆伯努利隨機變數在一種特殊狀況(-1 與1交錯出現)下的和。那麼請問，上述級數和為1/2的「機率」為何？
大抵而言，這裡的互動有兩個面向：純數學的，以及工程的。純數學而言，將機率引入微分方程的好處是你可以有一整套機率論的語言來對付微分方程。你有新的工具描述什麼是「解」，以及什麼是「唯一」解。這一系列的工作是 Varadhan 跟 Strook 在60年代引進的看法。用Martingale theorey來「拓展」微分方程解的存在唯一性(注意，determinitic微分方程可以被視為stochastic微分方程的一種特例)。就形式上來說，把任何一個微分方程外力項變成布朗運動就可以得到一個隨機微分方程。當然，這樣子有沒有「意義」就是另一個問題。
在工程上，引入隨機項的目的在於把環境擾動納入考量。當我們將越來越多的擾動因子納入考量之後，我們期待我們的解會越來越「真實」。在這邊最明顯的例子是流體力學中的stochastic Navier-Stokes equation。有研究人員宣稱當流體從層流(laminar)轉變成紊流(turbulence)的時候，我們得加入隨機項才能夠有符合實驗以及模擬的結果。
另一方面，也有一些隨機微分方程天生就是帶有隨機項的，譬如有名的KPZ equation。它所描述的是在有隨機擾動的環境下的介面增長模式；另一個最有名的隨機微分方程就是大名鼎鼎的Black-Scholes equation。拜此所賜，當代的資產定價模型幾乎都是用隨機微分方程來描述了。
以上就是我的研究興趣，假如你對我的研究有興趣的話，歡迎來信；或是直接到我的辦公室來聊聊。