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Il gioco
Il nim è un gioco matematico di strategia. Si parte con una serie di righe contenenti un certo numero di elementi (il numero delle righe e degli elementi di ciascuna riga sono concordati a piacere tra i giocatori all'inizio della partita). I giocatori, a turno, tolgono da una qualsiasi riga un numero di elementi a piacere, da uno a tutti. Vince chi toglie l'ultimo elemento presente sul campo di gara. Non è possibile passare (saltare la mossa).
Il nim è divenuto piuttosto famoso perché ha una strategia di vittoria semplice, facilmente utilizzabile come esempio in teoria dei giochi.
La strategia si basa sul calcolo binario: se rappresentiamo il numero di elementi in ogni riga con la sua notazione binaria avremo, ad esempio per il caso in figura,
001 (1)
011 (3)
101 (5)
111 (7)
La strategia del gioco si basa sulla distinzione tra posizioni (o configurazioni) sicure e insicure. Una configurazione si dice sicura se la somma nim di queste rappresentazioni binarie dà 0; altrimenti si dice insicura.
La somma nim (per semplificare la spiegazione) segue queste regole: 0 + 0 = 0; 1 + 0 = 0 + 1 = 1; 1 + 1 = 0. Quindi nell'esempio visto sopra, la somma fa 0 e la configurazione è sicura.
La strategia vincente consiste nel lasciare all'avversario, ad ogni mossa, una configurazione sicura. È sempre possibile raggiungere una posizione sicura a partire da una insicura (e viceversa), mentre è impossibile ottenere una posizione sicura partendo da una configurazione sicura.
Un caso particolarmente semplice si ha quando restano solo due righe. In questo caso, la strategia vincente è eliminare, dalla riga più grande, un numero di oggetti tale da rendere le righe uguali. A questo punto, quando l'avversario elimina un qualsiasi numero di oggetti da una delle due righe, basta fare esattamente la stessa mossa sull'altra riga per essere certi di vincere.
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