Mathématiques 4, Séquence 2, Printemps 2021
Organisation
Travaux dirigés (TD) le vendredi à 9h45 :
Des corrigés vous seront transmis au fur et à mesure de l'avancement du TD.
Groupe "à distance" avec Pascal Lainé sur Webex,
Groupe B "en présence" partielle (voir Tomuss) avec Benjamin Texier,
Groupe C "en présence" partielle (voir Tomuss) avec Pierre-Damien Thizy,
Groupe D avec Yoann Dabrowski sur Discord et en présence.
Cours
Le programme officiel du cours est disponible ici.
Polycopié du cours : cours complet. Ce polycopié ne contient pas les exercices corrigés en CM.
Autres références allant au delà du niveau de ce cours:
Éléments de mathématiques pour la physique et la chimie. par Maurice Kléber, 2014. Notre cours contient la moitié des chapitres 1,3,4,5 & 9.
Méthodes mathématiques pour les sciences physiques par Laurent Schwartz, aux éditions Hermann (plus difficile que le cours précédent).
Évaluation
1- Questionnaires à Choix Multiples (QCM)
QCM1 (coefficient 1/10) : 1/03, 14h00, à distance.
QCM2 (coefficient 1/4) : 26/04, 14h00, à distance.
2- Contrôles continus (CC)
CC1 (coefficient 1/4) : 15/03 à 14h00 (sujet corrigé).
CC2 : 12/04 à 14h00, annulé.
3- Examens finaux (coefficient 4/10)
CT1 : 19/05 à 10h00 (programme : l'ensemble du cours et des TDs, correction).
CT1 bis (Substitution COVID) : 3/06 de 10h à 12h00 en Berthollet 210.
CT2 : 28/06 à 8h00 en Thémis 9 (programme : l'ensemble du cours et des TDs).
Information QCMs
Le QCM1 portera sur le premier chapitre et les deux premières feuilles de TD. Pour vous entraîner, l'essentiel est de retravailler le cours et les feuilles de TD. Vous pouvez aussi vous tester sur les sujets de Préparation 1 (corrigé) et de Préparation 2 (corrigé) de l'an dernier.
Le QCM2 portera sur les feuilles de TD 4, 5, 6 et les chapitres de cours associés. Vous pouvez vous entraîner grâce aux annales ci-dessous. Après avoir retravaillé vos TDs, vous pouvez aussi vous tester en regardant les questions de distributions sur le sujet (corrigé) test du CT1 de l'an dernier. Les explications sur les réponses sont dans le corrigé (des exercices 3 et 4) de l'examen de l'an dernier ici.
Vérifiez bien la semaine avant le QCM que vous arrivez à remplir notre format de sujet et à enregistrer vos réponses. Des instructions et conseils à lire attentivement sont dans un fichier test de l'an dernier disponible ici (autre version corrigée non éditable ici). Attention, il faut télécharger le fichier pour pouvoir éditer les cases et ne surtout pas travailler dans votre navigateur. Le sujet de lundi sera individuel et contiendra déjà vos nom et numéro d'étudiant, contrairement à l'exemple. Enregistrer le fichier, puis le remplir en utilisant par exemple Xodo sous Android, Evince ou Okular sous Linux (version récente par exemple Ubuntu 18.04 ou ultérieur), Preview sous Mac, Adobe AcrobatReader ou PDFElement sous Windows.
Formulaire
Vous aurez droit au formulaire suivant. Il sera distribué avec le sujet de l'examen ou des CC. Pour ces derniers, seule la partie concernant le sujet sera mise à votre disposition.
Feuilles d'exercices
Cours magistral (CM) le lundi à 14h00 sur Webex (sauf le vendredi 22/01 à 9h45 et le lundi 25/01 à 15h45).
Progression (complétée au fur et à mesure de l'avancement du CM)
Cours du 22/01/2021 (3h) : présentation, rappels sur les primitives. Relations de comparaison (d'abord en l'infini puis en a dans [- ∞,+∞]): domination, négligeabilité (notations de Landau), équivalents. Relations aux sommes et aux produits, fonctions équivalentes à une constante non nulle et limite. Rappel des développements limités usuels en 0 (et des équivalents associés). Exemple d'un calcul d'un équivalent d'une somme par la méthode des développements limités. Intégrales impropres: définition, exemples de référence (intégrales de Riemann en +∞ et 0, Bertrand en +∞), théorèmes de comparaison I et II (avec premier exemple de l'exercice 5).
Cours du 25/01/2021 (1h30) : méthode d'intégration par partie sur l'intégrale de Fresnel. Définition des mesures (exemple des mesures de Dirac, des mesures à densités continues, de la mesure uniforme sur le cercle unité). Masse de Dirac comme limite de fonctions bosses.
Cours du 01/02/2021 (3h) : propriétés de l'intégrale de Lebesgue. Intégrales à paramètres. Théorèmes de continuité et de dérivations successives avec condition de domination. Exemple de la transformée de Fourier générale (continuité dans le cas intégrable) et pour une gaussienne (calcul explicite par équation différentielle). Complément du chapitre 1 : théorème de Fubini.
Chapitre 2 : transformation de Laplace : définition, formules calculatoires (linéarité, retard fréquentiel, dérivée, multiplication par t, convolution, avec toutes les démos sauf celle pour la convolution). Exemples de référence. Inversion de la transformée de Laplace en pratique pour les fonctions rationnelles. Rappel sur la décomposition en éléments simples complexes et réelle. Premier exemple en cours (exemple détaillé avec la décomposition réelle).
Cours du 08/02/2021 (3h) : exemple détaillé DES complexe. Inversion de la transformée de Laplace en pratique pour les fonctions rationnelles. Méthode de résolution d'équations différentielles ordinaires dans les cas des ordres 1 et 2 (1 exemple dans chaque cas). Théorèmes de la valeur initiale et de la valeur finale avec exemple sur fonctions de références.
Chapitre 3 : définitions de la convolution et de la transformée de Fourier dans le cas intégrable et le cas mesure (positive de masse finie). Exemple de la transformée de Fourier d'une gaussienne et des masses de Dirac. Convolution avec une masse de Dirac. Propriétés de la convolution. Exemples de régularisations par convolution. Propriétés de la transformée de Fourier, exemple des gaussiennes.
Cours du 22/02/2020 (3h). Fin du chapitre 3 : exemple d'application de la Formule d'inversion de Fourier (exo 20 pour calculer la transformée de Fourier d'une fonction lorentzienne). Lemme de Riemann Lebesgue. Théorème de Plancherel-Parseval (exemple des gaussiennes). Application à la résolution de l'équation de la chaleur.
Chapitre 4. Motivation: le dipôle. Définition d'une distribution. Exemples (Masse de Dirac, Fonctions continues par morceaux, peigne de Dirac, mesures positives). Définition de la dérivation (motivation dans le cas des fonctions dérivables à partir de l'intégration par partie). Définition du produit d'une distribution par une fonction lisse. Exemples de dérivations (dont dérivée de la fonction de Heaviside).
Cours du 08/03/2020 (3h). Exemples de dérivations (dont dérivée de la fonction de Heaviside) et du produit par une masse de Dirac. Dérivée d'un produit et formule de dérivation pour une fonction C1 par morceau. Primitive de distributions (énoncé avec preuve de l'existence et de l'unicité à constante près). Résolution d'équations différentielles linéaires d'ordre 1 (méthode et un exemple). Limites de distributions: définition, rappel du cas des masses de Dirac. Exemples : définition de la valeur principale de 1/x. Exemples 25-27 détaillés.
Cours du 22/03/2020 (3h). Impossibilité du Produit de distributions (exemple de l'impossibilité du carré d'une masse de Dirac). Distributions à support compact (exemple des masses de Dirac et des fonctions à supports compacts). Définition de la transformée de Fourier de distributions à support compact, formule pour produit avec x et pour dérivée. Solution élémentaire de l'équation des ondes.
Chapitre 5: rappels sur les nombres complexes. Définition d'une fonction holomorphe et formule de Cauchy-Riemann (pour vérifier qu'une fonction n'est pas holomorphe). Exemples de fonctions non-holomorphes (partie réelle et conjugaison). Exemples de fonctions holomorphes (polynômes, inverse, somme de séries, exponentielle, cosinus, sinus, logarithme principal et détermination principale de la racine nième). Formules pour les dérivées des sommes, produits, composées et théorème fondamental de l'analyse complexe. Définition d'un chemin et d'un lacet (et exemples de paramétrisations simple). Définition de l'intégrale le long d'un chemin et premier exemple.
Cours du 29/03/2020 (3h). Relation de Chasles et reparamétrisation de l'intégrale le long d'un chemin. Illustration du changement de signe pour une reparamétrisation décroissante. Primitive holomorphe (Exemples : puissances, détermination principale du logarithme). Théorème fondamental du calcul holomorphe. Définition d'ouvert étoilé, exemples. Existence d'une primitive holomorphe sur un ouvert étoilé. Contre-exemple de C* avec 1/z. Théorème de Cauchy. Application au calcul de l'intégrale de Fresnel. Formule de Cauchy et développabilité en série entière des fonctions holomorphes. Indice d'un lacet, exemples. Existence du développement en série de Laurent. Singularités effaçables ou essentielles et pôles. Définition et méthode de calcul d'un résidu en un pôle (lien avec formule de Taylor). Théorème des résidus. Applications à des fractions rationnelles (lien avec DES), au calcul d'une intégrale ou de la TF de (1+x^2)^(-2).
Contrôles Continus des années passées.
Correction CC2 2018 Correction Examen 2018
CCF 2019 et sa Correction.
CCF 2021 : sujet corrigé.
Contact
mail : pierre-damien.thizy@univ-lyon1.fr