Mathématiques 4 (UE MAT2013L), Séquence 1, Printemps 2022
Organisation
Travaux dirigés (TD) le mardi de 14h00 à 17h15 :
Groupe A avec Pascal Lainé,
Groupe B avec Benjamin Texier,
Groupe C avec Valérie Dos Santos Martins,
Groupe D avec Aliaksandr Hancharuk.
Cours
Le nouveau programme officiel du cours est disponible ici.
Cours Magistral (CM) le lundi à 9h45.
Progression (complétée au fur et à mesure de l'avancement du CM) :
Cours 1. Définition d'une fonction bornée au voisinage de a (réel ou infini). Relations de domination ("O"), négligeabilité ("o") et équivalence ("~"). Propriétés algébriques (sommes, produits, substitutions). Mise en garde pour la somme d'équivalents. Développements limités usuels à partir des formules de Taylor. Exercices/exemples d'application en 0, en pi/2, en 1 et en l'infini. Transparents
Cours 2. Suites de fonctions. Convergences simple, uniforme. Théorème de continuité, dérivabilité et intégration de la limite. Exemples et contre-exemples. Séries de fonctions. Convergences simple, absolue, uniforme et normale. Théorèmes analogues pour les série. Implications entre les convergences. Exemples et contre-exemples. Un exercice complet d'application des théorèmes via la convergence normale. Transparents
Cours 3. Introduction. Séries trigonométriques, écritures réelle et complexe. Convergence normale, critère d'Abel. Calculs des coefficients à partir de la somme si convergence uniforme. Séries de Fourier. Exemples (créneaux à paramètres, dents de scie, exponentielle périodisée). Théorèmes de Dirichlet-Jordan : convergences simple et normale dans le cadre C^1 par morceaux. Remarques sur parités. Relations de Bessel-Parseval. Un mot sur la théorie L^2. Transparents
Cours 4. Rappels sur les dérivée partielles, notion de fonction C^1, C^k, équation caractéristique EDO d'ordre 2. Exemples (gradient, laplacien). Équations des ondes sur la droite ou la demi-droite. Formules de d'Alembert associées. Solutions à variables séparées. Cadre périodique. Formules liant les coefficients de Fourier de f et f' (preuve IPP). Solution par séries de Fourier : méthode générale et exemple. Équations de Laplace et Poisson. Solutions à variables séparées. Équations de la chaleur sur droite et demi-droite. Transparents
Cours 5. Rappels sur les primitives et les primitives usuelles. Intégrales impropres. Fonctions intégrables. Exemples de référence (intégrales de Riemann). Théorèmes de comparaison pour montrer la convergence ou la divergence d'une intégrale. Exemples. Cas oscillants : intégrations par parties. Preuve de la non intégrabilité de sin(x)/x sur R_+. Convergence de l'intégrale de cos(x^2) sur R_+. Mesures : approximation d'une masse de Dirac. Un mot sur l'intégrale de Lebesgue. Notes (solutions exercices en CM)
Cours 6. Intégrales à paramètre. Théorèmes de continuité et de dérivations successives. Exercice d'application. Contre-exemples en l'absence de domination intégrable. Un mot sur le théorème de convergence dominée. Transformée de Laplace. Formules calculatoires. Exemples de référence. Rappels sur les décompositions en éléments simples réelles et complexes de fractions rationnelles. Un exemple. Notes (solutions exercices en CM)
Cours 7. Transformée de Laplace (fin). Exemple détaillé de décomposition en éléments simples. Stratégie globale de résolution d’équations différentielles linéaires à coefficients constants par transformée de Laplace. Théorème des valeurs initiales et finales.
Convolution et Transformée de Fourier. Définitions. Propriétés calculatoires de la convolution, lien avec transformée de Fourier d’un produit usuel de fonctions. Cadre mesure. Exemple des mesures de Dirac. Formule f*\delta_0=f et liens avec l’approximation par des fonctions plus régulières. Exemples. Formules calculatoire sur la transformée de Fourier (dérivation, changement d’échelle, translation, produit par x). Lemme de Riemann-Lebesgue. Injectivité et inversion de la transformée de Fourier. Théorème de Plancherel. Exemples Gaussiens. Notes (solutions exercices en CM)
Cours 8. Equation de la chaleur : résolution formelle par transformée de Fourier, puis résultats d'existence et d'unicité, comportement en temps long, discussion des hypothèses (explosion en temps fini ou non-unicité). Equation des ondes : obtention d'une formule de d'Alembert par transformée de Fourier. Equation de Schrödinger : résolution formelle. Inégalité d'incertitude d'Heisenberg. Notes (solutions exercices en CM)
Références pour approfondir :
Maurice Kibler. Éléments de mathématiques pour la physique et la chimie.
Claude Deschamps, André Warusfel. Mathématiques, tout-en-un, 1ère année MP, Dunod.
Claude Deschamps, André Warusfel. Mathématiques, tout-en-un, 2ème année MP, Dunod.
Évaluations
Pour les contrôles continus et les contrôles finaux, vous disposerez dans le sujet de la partie du formulaire correspondant au sujet. Aucun document personnel ne sera autorisé.
1- Contrôles Continus (CC)
CC1 (coefficient 11/40) : 21/03 à 9h45. Programme : feuilles de TD 1, 2, 3A, 3B et le cours correspondant. Sujet corrigé.
CC2 (coefficient 11/40) : 25/04 à 9h45. Programme : feuilles de TD 5, 6, 7 et le cours correspondant. Sujet. Correction Partie I, Partie II.
2- Participation TD (coefficient 1/20).
3- Contrôles Terminaux (CT : coefficient 4/10)
CT1, première session : 23/05 à 8h00 (programme : l'ensemble du cours et des TDs). Sujet corrigé.
CT2, seconde session : 27/06 à 9h00 (programme : l'ensemble du cours et des TDs).
Feuilles d'exercices mises en ligne au fur et à mesure de l'avancement (programme indicatif ici).
Contrôles Continus des années passées
(Attention, le nouveau programme de Math 4 est appliqué dès ce printemps 2022 : ne travailler que les parties correspondant au programme de cette année).
Correction CC2 2018 Correction Examen 2018
CCF 2019 et sa Correction.
CC1 2021 : sujet corrigé.
CCF 2021 : sujet corrigé.
Autres exercices d'entraînement :
sur les feuilles 3A et 3B : exercices 3 du sujet (corrigé), du sujet (corrigé) ou du sujet corrigé. Exercice 4 du sujet corrigé ou du sujet corrigé.
Contact
mail : pierre-damien.thizy@univ-lyon1.fr