Fatorando Transformações de Cremona

Carolina Araujo & Sokratis Zikas

Resumo: O grupo de Cremona em dimensão n é o grupo das transformações birracionais do espaço projetivo de dimensão n. O celebrado teorema de Noether-Castelnuovo (1871-1901) afirma que o grupo de Cremona em dimensão 2 é gerado pelos automorfismos lineares e por uma única transformação quadrática. Em dimensões superiores, não há uma descrição simples do grupo de Cremona em termos de geradores, e a situação é bem mais complicada. Por outro lado, técnicas de geometria birracional, em particular o MMP (Minimal Model Program), fornecem uma maneira de fatorar transformações de Cremona como composições de elos elementares. Essa teoria, conhecida como "Programa de Sarkisov", tem se mostrado extremamente útil no estudo do grupo de Cremona em dimensão superior. Neste minicurso, faremos uma introdução ao MMP e ao Programa de Sarkisov.

Mapas biracionais do ponto de vista da Álgebra Comutativa

Hamid Hassanzadeh

Resumo: O estudo da equivalência de variedades algébricas a partir da biracionalidade é um dos temas centrais da Geometria Algébrica. Nessa direção, a classificação de variedades pode ser vista como parte da chamada geometria birracional. De modo análogo, podemos concentrar-nos na estrutura dos mapas racionais que definem biracionalidades entre variedades — este será o ponto de partida do minicurso. Apresentarei aplicações de métodos de Álgebra Comutativa, como o uso de syzygies no estudo dos ideais de base de mapas racionais, e discutirei critérios algébricos que fornecem ferramentas computacionais para verificar a biracionalidade de tais mapas. Introduziremos também alguns métodos no Macaulay2 para testar biracionalidade. Além disso, veremos como diferentes teorias de multiplicidades — como mixed multiplicity e j-multiplicity — desempenham um papel importante na abordagem algébrica dos mapas racionais.