Operações
com Números Inteiros
As propriedades da adição
Comutatividade, associação e elemento neutro. Diz-se então que o conjunto Z dos números inteiros é fechado em relação à adição.
Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c² + ( 3 + 7 ) = ( 2 + 3 ) + 73.
Comutativa: a + b = b + a³ + 7 = 7 + 34.
Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a .
Zero é o elemento neutro da adição.7 + 0 = 75.
As propriedades da Subtração
A subtração de números inteiros não admite as propriedades da adição.
1) Não é associativa, pois:
7 – (5 – 3) = (7 – 5) – 3
7 – (2) = (2) – 3
5 = – 1 (falso)
Por não ser associativa só pode ser feita com dois elementos de cada vez.
2) Não é comutativa, pois:
7 – 5 = 5 – 7
2 = – 2
Por não ser comutativa só pode ser feita da esquerda pra direita.
3) Não admite elemento neutro.
7 – 0 = 7 = 0 – 7
Em:
7 – 0 = 7
7 = 7 (verdadeiro)
Mas em:
0 – 7 = 7
– 7 = 7 (falso)
Por não admitir elemento neutro não tem elemento oposto.
Propriedades da multiplicação
Em relação à multiplicação, temos quatro propriedades para os números inteiros, que são:
⇒ Propriedade Comutativa: a ordem dos fatores não altera o produto (resultado).
No exemplo abaixo, – 3 e + 5 são os fatores.
(- 3) . (+ 5) = - 15
(+ 5) . (- 3) = - 15
⇒ Propriedade Associativa: A associação dos fatores não modifica o produto.
Os fatores no exemplo a seguir são: - 3, + 5 e - 2.
(- 3 . + 5) . - 2 = (- 15) . ( - 2) = + 30
- 3 . (+ 5 . - 2) = (- 3) . ( - 10) = + 30
⇒ Elemento Neutro: Na multiplicação, o elemento neutro é o número 1. Qualquer número multiplicado por 1 resulta nele mesmo. Nesse caso, um dos fatores sempre será o número + 1.
Veja exemplos:
(+ 8) . (+ 1) = + 8
(- 100) . (+ 1) = - 100
⇒ Propriedade distributiva: Realizamos o produto do termo externo ao parênteses com os termos internos dos parênteses.
Observe os exemplos abaixo:
(- 2) . [( (+ 3) + (+ 4)] =
= (- 2) . (+ 3) + (- 2) . (+ 4) =
= (- 6) + (- 8) =
Em + (- 8), devemos realizar o produto de + 1 . (- 8) = - 8
= – 6 – 8 =
= – 14
[(+ 5) - (– 6)] . (+ 2) =
= (+ 5) . (+ 2) - (- 6) . (+ 2) =
= (+ 10) - (- 12) =
Em - (- 12), devemos realizar o produto de – 1 . (- 12) = + 12
= + 10 + 12 =
= + 22
Fórmula geral das propriedades
Considere que a, b, c representam qualquer termo numérico ou algébrico.
Comutativa: a . b = b . a
Associativa: (a . b) . c = a . (b . c)
Elemento neutro: a . 1 = a
Distributiva na adição: a . (b + c) = a . b + a . c
Distributiva na subtração: a . (b – c) = a . b – a . c
Propriedades da divisão
A divisão não é bem definida para dois números inteiros, isto é, um inteiro dividido por outro nem sempre é um número inteiro. Para que a divisão de inteiros seja um inteiro, é necessário que o dividendo seja múltiplo do divisor.
Por conta disso, a divisão de inteiros não admite as propriedades da adição e da multiplicação.
As figuras desta página foram extraídas de:
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