2.º workshop (online, zoom), 23 de março de 2024

Programa:

9:15 – 09:30 Abertura

09:30 - 09:45 - Rafael Moreira (2.º ano FC/UP): Polinómios sobre anéis não comutativos

Resumo: É um fato conhecido que os polinómios sobre corpos têm um número finito de raízes, mas isso nem sempre é verdade para polinómios sobre anéis não comutativos. Nesta apresentação, vou explorar o número de raízes dos polinómios sobre anéis não comutativos. Vou apresentar algumas definições relevantes sobre o tema e resultados conhecidos. Por fim, vou expandir esses resultados para alguns subanéis de quaterniões generalizados, apresentando os resultados obtidos até agora.

09:50 - 10:05 - Dantas Serra (3.º ano FCT/UC): Uma abordagem à conjectura de Saxl

Resumo: Serão apresentados conceitos e ferramentas com o objetivo de explicar como a conjectura de Saxl foi abordada e parcialmente resolvida em um artigo para casos particulares de partições de n.

10:10 - 10:25 - João Vital (3.º ano FC/UL): Álgebras de Lie

Resumo: Tendo o projeto consistido no estudo das álgebras de Lie, nesta apresentação vou fazer uma breve revisão das definições básicas apresentadas anteriormente e apresentarei as definições de representações e módulos de álgebras de Lie, mostrando exemplos. Para finalizar será enunciado um resultado importante: o Teorema de Weyl.

10:30 - 10:45 - João Areias (1.º ano mestrado FCT/UC): Caracterização de condições de separação em locales em termos de operadores de fecho e interior

Resumo: Começamos com uma breve referência aos axiomas de separação em espaços topológicos e ao modo como eles podem ser caracterizados em termos de operadores de fecho e interior.  Motivados por isto, definimos os axiomas de separação na categoria dos locales e mostramos como é possível descrevê-los utilizando operadores de fecho e de interior nos reticulados de sublocale.

10:50 - 11:10 Pausa

11:10 - 11:25 - José Gomes (2.º ano Univ. do Minho): Curvas que preenchem o espaço

Resumo: No século XIX, Cantor mostrou que existem funções contínuas definidas no conjunto dos números reais com valores no plano que preenchem todo o plano. Mais ainda, também existem curvas que preenchem o espaço de n-dimensões! Nesta apresentação vamos explorar algumas destas curvas, como a curva de Peano, a curva de Hilbert, e a curva de Lebesgue, que, contrariamente às outras duas, é diferenciável em “quase todos os pontos”. Também vamos explorar curvas em n-dimensões, que são consideravelmente mais difíceis de definir analiticamente, mas de cuja existência já se sabia desde que Cantor demonstrou, para espanto da comunidade matemática da altura, que a reta real está em bijeção com o espaço n-dimensional. Num artigo publicado em 2019, J. Freitas, R. Lima e D. Santos definem uma generalização n-dimensional da curva de Peano. Para demonstrar algumas das propriedades desta curva, são visitados os conceitos de função auto-afim segundo Kôno, q-continuidade de Hölder, com q pertencente a ]0,1[ e dimensões fractais de Hausdorff e de empacotamento.

11:30 - 11:45 - André Morais (3.º ano IST/UL): Imagens Birracionais de espaços projetivos

Resumo: Nesta apresentação efetuaremos uma revisão dos métodos fundamentais de geometria algébrica necessários para se efetuar o estudo apropriado das superfícies de Del Pezzo. Em particular, começaremos com uma breve revisão dos conceitos fundamentais de geometria algébrica necessários à compreensão de todo o trabalho.

Prosseguiremos com a introdução das ideas necessárias para compreender os morfismos entre variedades projetivas, particularizando para o caso das superfícies de Del Pezzo.

Terminamos a apresentação com o trabalho desenvolvido na contagem das retas no interior das superfícies de Del Pezzo obtidas a partir dos morfismos induzidos por subsistemas do sistema linear das cúbicas em P^2.

11:50 - 12:05 - Duarte Pinho (1.º ano mestrado FC/UP): Eventos extremos em sistemas dinâmicos

Resumo: Introduzirei conceitos básicos de sistemas dinâmicos e teoria de valores extremos. Serão apresentados dois tipos de observáveis e analisado o seu comportamento extremo.

12:10 - 12:25 - João Santos (2.º ano ISEG/UL): Caos na família quadrática

Resumo: Nesta sessão, iremos explorar propriedades da família quadrática e provar a existência de caos “à Devaney” (num dada restrição da família) usando dinâmica simbólica.

12:30 - 14:00 Almoço

14:00 - 14:15 - Mariana Costa (2.º ano IST/UL): Complexidade Parametrizada de Problemas sobre Códigos e Reticulados 

Resumo: A Complexidade Parametrizada é um ramo da teoria da complexidade computacional que classifica os problemas em termos de parâmetros específicos, permitindo uma análise mais refinada e uma melhor compreensão da sua dificuldade. Apesar de há vários anos ser conhecida a complexidade clássica de problemas em códigos e reticulados, a sua complexidade parametrizada ainda não está completamente determinada. Nesta apresentação, introduzimos o estudo da complexidade parametrizada no caso do Shortest Vector Problem e outros conceitos que servem de apoio a este problema, como as Locally Dense Lattices e BCH codes. 

14:20 - 14:35 - Pedro Pinto (2.º ano Univ. de Aveiro): Algoritmo de Shor, Factorização em BQP

Resumo: Nesta apresentação, vou fazer uma introdução à complexidade computacional, focando-me no problema da factorização. Irei demonstrar que o problema da factorização pode ser reduzido ao problema da descoberta da ordem. O problema da descoberta da ordem está em NP num computador clássico e em BQP num computador quântico.

14:40 - 14:55 - Alexandra Varela (2.º ano ISEG/UL): Programação Estocástica no Arc Routing Problem

Resumo: Atualmente, dentro da área da otimização, a eficiência é uma componente com grande importância no mundo industrial que permite melhorar processos reduzindo custos.

O Arc Routing Problem (ARP) é um problema de otimização definido num grafo G=(V,A) onde A é o conjunto de ligações do grafo. Este conjunto incluí dois tipos de ligações: ligações a visitar, isto é, que requerem a prestação de um determinado serviço, e ligações auxiliares. Cada ligação tem associado um tempo de viagem ou de serviço. O ARP consiste em determinar rotas que garantam que todas as ligações a visitar sejam de facto visitadas e que esse processo é feito no menor tempo possível.

Neste problema, os tempos de viagem/serviço dos arcos são altamente influenciados por fatores externos como variações climáticas, trânsito etc., sendo por isso essencial a consideração da incerteza. Neste projeto, estudamos o ARP usando programação estocástica, sendo a incerteza representada por um grande conjunto de cenários. 

O modelo resultante da inserção deste fator é um modelo de grande dimensão e difícil de resolver. Assim sendo, a metodologia a seguir consiste em primeiramente decompor o problema inicial numa série de problemas mais pequenos, específicos e fáceis de resolver. De seguida, são explorados possíveis padrões entre as soluções obtidas para esses subproblemas, que poderão permitir fixar algumas variáveis do modelo original e reduzir, assim, a sua complexidade.

15:00 - 15:15 - Eduardo Guerreiro (2.º ano IST/UL): Programação linear no problema do empacotamento esférico

Resumo: A programação linear permitiu obter algumas das melhores estimativas para o problema do empacotamento esférico e inspirou a prova em dimensões 8 e 24. Exposição de alguns dos principais resultados no contexto do problema.

15:20 - 15:35 - Manuel Madelino (2.º ano FCT/UNL): Inclusões Diferenciais e Origami

Resumo: Nesta apresentação irei falar sobre inclusões diferenciais dando primeiramente uma definição mais geral e relacionando com o caso mais específico de origami. De seguida, abordarei o caso escalar, mais especificamente funções de duas para uma dimensão, onde darei o exemplo de uma função mais em concreto. Por último falarei do caso vetorial, dando também um exemplo em relação a funções de duas dimensões para duas dimensões.

15:40 - 16:00 Pausa

16:00 - 16:15 - Filipe Viseu (2.º ano IST/UL): Representações dos Grupos de Higman-Thompson 

Resumo: Nesta pequena apresentação vamos relembrar os grupos de Higman-Thompson, que são uma família de grupos infinitos notáveis pela sua estrutura complexa e pela sua aplicação em vários domínios
da matemática e da física. Estudaremos algumas das suas representações em espaços de Hilbert e alguns dos resultados e problemas em aberto mais recentes sobre estas representações. 

16:20 - 16:35 - António Neves (3.º ano IST/UL): Teoria de Ehrhart em Diagramas Tóricos

Resumo: Diagramas tóricos são polítopos com vértices inteiros, simpliciais e tais que os vértices de cada faceta formam uma base do reticulado Z^d. Esta apresentação introduz os conceitos de face e dualidade polar bem como propriedades sobre polinómios e séries de Ehrhart que têm particular interesse para o estudo de Diagramas tóricos.

16:40 - 16:55 - Kira Morozova (2.º ano Univ. de Aveiro): Propriedades de relações codificadas com adjuntos

Resumo: O foco da minha investigação é criar novas definições categóricas para conceitos de espaços métricos como espaços totalmente limitados e compacidade. Para tal é necessario familiarizar-nos com uma vista categórica sobre a função distância. Esta função pode ser encarada como um tipo específico de relação ([0, infinito]-Relation) entre o espaço X e ele próprio. Assim sendo esta apresentação será um breve resumo de resultados obtidos através de uma perspetiva categórica sobre relações (as que todos conhecemos), funções monótonas, distribuidores e terminando em [0, infinito]-Relations. Entre estes: Como uma relação ter um adjunto à direita codifica o facto de ser uma função.

17:00 - 17:15 - José Santos (2.º ano FC/UP): Teoria da representação em grupos finitos

Resumo: Nesta apresentação irei relembrar e dar algumas definições e construções sobre grupos, homomorfismos e representação de grupos que servirão como base para conseguir explicar o que é um FG-Módulo e mais concretamente o FG-Módulo regular.
Acabado isto irei demonstrar o teorema de Maschke e uma consequência dele. Também irei demonstrar o lema de Shur e anunciar dois grandes resultados obtidos a partir dele. Por fim, vou introduzir um bocado sobre o espaço dos homomorfismos entre representações e sobre a dimensão dele, outro resultado do lema de Shur. 

17:20 - 17:35 - João Passadiço (2.º ano FC/UP): Álgebras de grupo e 1/2-derivações

Resumo: Iremos caracterizar as 1/2 derivações na álgebra de Witt e uma generalização da mesma, apresentando as estruturas de Poisson transposta existentes em ambas como também apresentar o produto-semidireto entre uma álgebra de Lie L e um L-módulo.

17:40 - 17:55 - Joana Ventura (2.º ano FC/UL): O que são as propriedades da disjunção e da existência na lógica intuicionista

Resumo: Nesta apresentação, será descrito o sistema de Dedução Natural para o cálculo proposicional. Serão exploradas as propriedades da disjunção e da existência. Será também referido o Teorema da Completude de Bernays, explicando-se a razão pela qual a propriedade da disjunção é válida para a lógica intuicionista e não para a clássica. Por fim, será apresentado um sistema para o cálculo predicativo na lógica intuicionista, enunciando os seus axiomas e as suas regras.