A (мистецтво)

Гармонія присутня скрізь у Всесвіті: і в комбінації ритмів астрономічних тіл, за якими вони обертаються в просторі, відомій як «музика сфер», і в мистецтві музики, яка очищує душу. Гармонія встановлена не лише на фізичному рівні, але також і в зв'язках між космічним і моральним порядком. Давньогрецький математик Піфагор увів звичай застосовувати музику для очищення душі й практикував лікування музикою. Деякі мелодії були проти пригнічуючих душу страждань - смутку й мук, другі - проти гніву й злості, а треті - проти пристрастей. Ідея про можливість побудови числової моделі світу була покладена Піфагором в основу його теорії музики. Піфагор винайшов, що якісні відміни в звучанні струн обумовлюються чисто якісними відмінностями, а саме довжиною струн. Одночасне звучання двох струн буде приємне для слуху якщо довжина їх відноситься, як 1:2, або 2:3, або 3:4, що відповідають музичним інтервалом в октаву, квінту і кварту.

Відомі математики: Рене Декарт, Готфрід Лейбніц, Християн Гольдбах, Жан Д'аламбер, Леонард Ейлер, Данило Бернуллі приділяли увагу у своїх роботах дослідженню музики. Перша праця Рене Декарта – «Compendium Musicae» («Трактат про музику»), перша велика робота Леонарда Ейлера – «Дисертація про звук». Ця робота 1727 року починалася словами: «Моєю кінцевою метою в цій праці було те, що я прагнув представити музику як частину математики і вивести в належному порядку з правильних підстав все, що може зробити приємним об'єднанням і змішуванням звуків». Лейбніц в листі Гольдбаху пише: «Музика є прихована арифметична вправа душі, що не вміє рахувати». Гольдбах йому відповідає: «Музика - це прояв прихованої математики».

А чи знаєте Ви, що…

Йоганн Себастьян Бах у своїй триголосній інвенції E-dur № 6 BWV 792 використовував двотактну форму, в якій співвідношення розмірів частин відповідає пропорціям золотого перерізу. 1 частина — 17 тактів, 2 частина — 24 такти (невеликі невідповідності вирівнюються за рахунок Фермата в 34 такти).

У Стародавній Греції музика прямо вважалася частиною математики, а ще точніше, розділом теорії чисел. Першим, хто спробував висловити красу музики за допомогою чисел, був Піфагор – той самий, чиїм ім'ям названа знаменита теорема. І в XVII столітті французький філософ, фізик, математик Марен Мерсен в трактаті «Істина наук проти скептиків або піроніків" також розглядав музику як галузь математики.

Піфагор займався пошуками музичної гармонії, оскільки вірив у те, що така музика необхідна для очищення душі і лікування тіла і здатна допомогти розгадати будь-яку таємницю. Піфагор, проходячи одного разу повз кузню, і почувши, як удари молотів створюють цілком певне співзвуччя, вирішив зайнятися експериментами, намагаючись знайти співвідношення між висотою тону і числами. Для того, щоб визначити взаємозв’язок між рівнем води та довжиною струни вчений використав чашу з водою і однострунну арфу та виявив, що половина довжини струни піднімає ноту на одну октаву вгору.

Піфагор стверджував, що «музика дуже благотворно діє на здоров'я, якщо займатися нею належним чином». Тому піфагорійці, «відходячи до сну,. .. очищали розум від денного сум'яття і шуму певними піснями й особливого роду мелодіями і цим забезпечували собі спокійний сон з небагатьма і приємними сновидіннями». Одного разу Піфагору вдалося вгамувати гнів п'яного дебошира юнака просто тим, що він звелів флейтисту зіграти урочисту мелодію. Тим самим філософ не тільки відкрив цілий ряд музичних ефектів, але і знайшов їм практичне застосування в навчанні та медицині.

А. Енштейн вважав, що у науковому мисленні завжди присутні елементи поезії. Наука і музика, на його думку, вимагає однакового мислення. У передмові до «Еволюції фізики», яку написав А. Ейнштейн у співавторстві з К. Інфельдом, йдеться про «спроби людського розуму знайти зв’язок між світом ідей і світом явищ». Скрипка була для Ейнштейна інструментом, який допомагав знайти цей зв’язок.

Піфагором в основу його теорії музики покдав ідею про можливість побудови числової моделі світу. Піфагор прийшов до висновку, що одночасне звучання двох струн буде приємне для слуху якщо довжина їх відноситься, як 1:2, або 2:3, або 3:4, що відповідають музичним інтервалом в октаву, квінту і кварту. День відкриття цього факту можна назвати день народження математичної фізики.

А. Енштейн писав: «Ми відкрили щось подібне на коливання струни і атомом, що випромінює промені, така система частин веде себе подібно до малого акустичного інструменту, в якому виробляють стоячі хвилі».

Піфагор уперше математично описав звук. Тому його цілком можна називати «прадідом» акустики. Його октава стала виражатися так: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/8, 1/16 (до, ре, мі, фа, соль, ля, сі, до). Звичайно, на сучасну гаму Розділ 2. Математика у творчості 43 це не схоже, проте дроби 3/8; 3/4; 1/2; 2/4, показують розміри музичного твору. Різні твори мають різні розміри. Наприклад, вальс має розмір 3/4, марш – 2/4.

«Канон ре мажор» Йоганна Пахельбеля, який часто обирають наречені для своїх весільних церемоній, популярний своєю структурою, яка має тенденцію до повторів – такого очевидного напряму сучасної музики. Тож не дивна й популярність хіп-хопу з його ритмічним бітом і повторюваними імпровізаціями, частково обумовлена нашою вродженою математичною потребою в ритмі й повторюваних елементах.

Джейсон Браун - професор математики з університету Далхаузі (Канада) використав математичну операцію перетворення Фур'є для того, щоб проаналізувати перший акорд пісні Бітлз «A Hard Day’s Night» і, відповідно, розкрити таємницю його нетипового й загадкового звучання. (Очевидно, дванадцяти струнна гітара Джорджа Харрісона – це не весь секрет групи). Тепер Браун застосовує успішні результати своїх досліджень в якості натхнення для написання нових пісень.

Поняття «частина–ціле» необхідне не тільки для розуміння звичайних десяткових дробів і відсотків, але й відноситься до розуміння ритму. Грамотний музикант, для того, щоб правильно відображати ритмічний малюнок твору, завжди має подумки розбивати ритм на рівні складові (і контролювати його). Підхід різний, але структура завдання така ж, як і в будь-якій математичній задачі, що використовує поняття «частини–цілого».

Відомий математик Кіт Девлін у своїй книзі «Ген математики» вказує, що музиканти й математики однаково використовують для написання абстрактні позначення тих схем-образів, які існують в їх уяві. Наприклад, досвідчений музикант, читаючи музичні символи, відразу ж відтворює у своїй уяві ті звуки, які ці символи позначають. Теж саме можна сказати і про математика, який, читаючи математичні символи, подумки обдумує математичні вирази (логічні судження), зображувані цими символами.

Піфагор вважав, що кожна планета, рухаючись по своїй орбіті видає свій звук, причому тона такі, що при русі всіх 7 планет звучить музика сфер. Піфагор назвав навіть сонячну систему семиструнною лірою. Він запевняв, що може слухати цю дивну музику, яку інші люди почують після смерті.

Зв'язок між фізичним виконанням музики й математичними здібностями доведений дослідженнями, які демонструють, що діти, які грають на музичних інструментах, можуть виконувати більш складні арифметичні дії в порівнянні з тими дітьми, які на них не грають. Копітке й поступове вивчення музичного твору, увага до деталей і дисципліна, що вимагаються, щоб навчитися грати на інструменті, також є чудовою основою для розвитку математичних навичок.

Апаратна візуалізація демонструє те, що діяльність мозку професійних музикантів при прослуховуванні музики подібна до мозкової діяльності професійних математиків, які розв’язують задачу [188].

Математики розглядають музичну партитуру як графік, на якому по вертикалі відкладається висота звуку,

а по горизонталі – час. Тепер у математиків є докази того, що кожний акорд можна представити не просто за допомогою довільних знаків на розлінованому папері, але і як точку в геометричному просторі.

І в XVII столітті французький філософ, фізик, математик Марен Мерсен в трактаті «Істина наук проти скептиків або піроніків» також розглядав музику як галузь математики.

МАТЕМАТИКА ТА ЖИВОПИС

Геометричні мотиви часто присутні у роботах великих живописців. Варто зазначити, що найчастіше живописці у своїх проектах свідомо використовували три геометричні конструкції: пропорції «золотого перерізу», спіраль Архімеда, фрактальну геометрію а також неможливі фігури та многогранники. Художники і математики працюють, використовуючи, по великому рахунку, аналогічні підходи до аналізу реальності. І ті й інші мають прив'язати результат їх роботи до реальності. Математичні концепції винаходяться, створюються або відкриваються способами, які багато в чому нагадують ті, які використав Пікассо коли відкрив кубізм. Математику і живопис в зв'язку з цим можна розглядати просто як два різних, взаємодоповнюючих способи візуалізації конкретної або абстрактної реальності, в якій ми існуємо.

А чи знаєте Ви, що…

Для побудови геометричного плану Гробниці фараона Стародавнього Єгипту Менеса було використано елементи пропорції, яку ми зараз пов'язуємо з золотим перерізом.

Працюючи над картиною «Бояриня Морозова», російський художник Василь Суриков мав викликати у глядача ілюзію руху саней, в яких везуть Розділ 2. Математика у творчості 39 розкольницю. Саме пропорції «золотого перерізу» пояснюють таємницю емоційного впливу картини «Бояриня Морозова» на глядача, таємницю «чарівної сили» живопису.

Якщо придивитись до картини Рафаеля Санті «Побиття малят» то у центрі бачимо жінку з лівої сторони, що закриває дитину своїм тілом від удару. Якщо провести подумки лінію: руки – голова дитини – голова жінки – голова ката - нога жінки – ще одна жінка – піднята для удару рука – побачимо «золоту спіраль Архімеда».

Картини американського художника Джексона Поллока написані в стилі дріпінгу - зустрічається під назвою «метод спонтанного автоматизму» коли на полотно, розстелене на підлозі, розбризкують, виливають фарбу, що створює несподівані ефекти. З’ясовано, що ці картини художника мають чітку фрактальну розмірність.

Фігура Мадонни в картині італійського художника і вченого Леонардо да Вінчі «Мадонна Літта» вписується в правильний трикутник. Завдяки цьому мати і дитина виявляються в центрі уваги, як би висуваються на передній план. Голова Мадонни поміщається між двома симетричними вікнами на задньому плані картини. Художник використовує і асиметрію в зображенні тільця дитини. Симетрія проявляється і в іншій картині Леонардо да Вінчі «Таємна вечеря». Вся композиція строго симетрична і строго врівноважена щодо вертикальної осі, що проходить через головну точку картини. Групи апостолів справа і зліва від вчителя вписуються в прямокутник. (взято інтернет автор Гусева Валерия Алексеевна)

Прикладом «золотого перерізу» в живописі служить портрет «Мони Лізи (Джоконди)». Композиція малюнка заснована на золотих трикутниках, які є частинами правильного зірчастого п'ятикутника.

Сальвадор Далі в деяких своїх творах також використовував математичні ідеї. В картині «Розп’яття», художник зообразив гіперкуб, а на картині «La visage de la Guerre» послідовність облич, що зменшуються.

Мауріц Корнеліс Ешер в картиці «Всадники» використав геометричне представлення стручки Мебіуса. М. Ешер використовував неможливі фігури у своїх роботах: «Бельведер», «Сходження і спуск», «Водопад».

Іштван Орос в картині «Перехрестя» (1999) використав зображення мостів, що не можуть існувати в тривимірному просторі. Наприклад, на цій картині мости відображаються у воді, але ці відображення не можуть бути вихідними мостами.

Шведського художника Оскара Реутерсварда називали «батьком» неможливих фігур, який за роки своєї творчості намалював тисячі таких фігур.