Тема 23. Методи розвязування геометричних задач
Заняття 157-158. Метод геометричних перетворень (2 год)
Поворот
Задача. Навколо рівностороннього трикутника описано коло. Доведіть, що сума відстаней від будь-якої точки кола до двох найближчих вершин трикутника дорівнює відстані від цієї точки до третьої вершини.
Осьова симетрія
Задача. Через точку М основи АС рівнобедреного трикутника АВС проведено пряму, яка перетинає прямі ВА і ВС в точках N i P. Доведіть, що NA : NM = PC : PM.
Гомотетія
Задача 1. Радіус кола, описаного навколо трикутника АВС, дорівнює R. Обчисліть радіус кола, описаного навколо трикутника, вершини якого є серединами медіан даного трикутника.
Задача 2. Через точку дотику двох кіл проведено дві січні і їх другі точки перетину з кожним колом з’єднано хордами. Доведіть, що ці хорди паралельні.
Тема 25. Розміщення фігур на площині, розрізання та розфарбовування
Заняття 173-174. Розвязування задач на розрізання (2 год)
Рекомендовані джерела
Аніщенко, Вікторія Вікторівна. Математика. Підготовка до олімпіади : цикл уроків для вчителів і учнів 5-6 класів / В. В. Аніщенко; Нар.укр.акад. [каф. інформ. технологій та математики]. – Харків: Вид-во НУА, 2021. – 186 с.
Стор. 67-87
Тема 25. Розміщення фігур на площині, розрізання та розфарбовування
Заняття 175-176. Використання розфарбовування (2 год)
Рекомендовані джерела
1) Федак І.В. Готуємося до олімпіади з математики Ч.І. Теорія чисел, комбінаторика, алгебра https://is.gd/AM4eez
Стор. 29-34
2) Кравчук В. Р. Задачі математичних олімпіад. Видання 2-ге, доповнене / В. Р. Кравчук. — Тернопіль : Підручники і посібники, 2019. —128 с.
Стор. 47-59
Тема 26. Графи та їх використання
Заняття 181. Розвязування задач за допомогою графів (1 год)
https://naurok.com.ua/uploads/files/834524/186613.pdf
Рекомендовані джерела
Скляр І. В. Теорія графів у школі : задачі : посібник. К. : Шкільний світ, 2010. 128 с.
Тема 27. Основні методи розвязування олімпіадних задач
Заняття 182. Парність, інваріант, півінваріант (1 год)
Рекомендовані джерела
1) Федак І.В. Готуємося до олімпіади з математики Ч.І. Теорія чисел, комбінаторика, алгебра https://is.gd/AM4eez
Стор. 3-6, 35-42
2) Кравчук В. Р. Задачі математичних олімпіад. Видання 2-ге, доповнене / В. Р. Кравчук. — Тернопіль : Підручники і посібники, 2019. —128 с.
Стор. 36-46
Тема 27. Основні методи розвязування олімпіадних задач
Заняття 187. Симетричні стратегії (1 год)
Симетричні стратегії – це виграшні стратегії, розроблені на основі симетрії стартової позиції гри. Аналіз розв’язування таких задач показує, що в іграх із симетричною стартовою позицією здебільшого виграє той, хто не порушує її симетрії, а порушену суперником симетрію стартової чи ігрової позиції може поновити.
Задача 1. Двоє гравців по черзі кладуть однакові монети на круглий стіл, причому так, щоб вони не накладалися одна на одну. Програє той, хто не може зробити хід.
Розв’язання
В цій грі виграє перший гравець, незалежно від розмірів столу. Першим ходом він кладе монету так, щоб центри монети і столу співпали. Після цього на кожний хід другого гравця перший гравець відповідає симетрично щодо центру столу. При такій стратегії після кожного ходу першого гравця позиція симетрична. Тому, якщо черговий хід другого гравця можливий, то можливий і симетричний йому відповідний хід першого гравця. Отже, перший гравець перемагає.
Задача 2. Двоє гравців по черзі розламують шоколадну плитку 6 х 8. За один хід дозволяється зробити прямолінійний розлом будь-якого зі шматків уздовж заглиблення на плитці Програє той, хто не зможе зробити наступного ходу. У котрого з гравців є виграшна стратегія ?
Розв'язання
Перемога першого гравця досягається незалежно від його гри, все ж можна було б запропонувати для нього цілком осмислену стратегію. Припустимо, що своїм першим ходом він розламав плитку на дві однакові частини розмірами 6х4. Тоді, яку б із цих частин не розламав другий гравець, у першого є можливість зробити аналогічний (симетричний) розлом у тотожній їй другій частині. При цьому одержимо дві пари рівних між собою шматків. Тоді, який би шматок не розламав другий гравець, перший знову має змогу зробити аналогічний розлом шматка, який входить із розламаним в ту ж саму пару. Таким чином, скільки б не продовжувалася гра, ходи першого гравця не зможуть вичерпатися раніше, ніж ходи другого. А оскільки число розломів плитки є скінченним, ми дістаємо, що врешті-решт вичерпаються ходи обох гравців. З попередніх міркувань випливає, що останній хід при цьому буде за починаючим гру, який і здобуде перемогу.
Задача 3. Двоє гравців по черзі виймають із двох ящиків кулі. За один хід кожен гравець може брати з будь-якого (тільки одного) ящика довільну кількість куль. Виграє той, хто бере останнім. Як має грати той гравець, що починає, щоб виграти, якщо в першому ящику 73 кулі, а в другому - 118 куль?
Розв’язання
Якщо перший гравець спочатку візьме 45 куль з другого ящика, то в ящиках стане куль порівну. Після цього перший гравець на кожен хід суперника має симетричну відповідь, тобто, якщо другий гравець бере п куль з якогось яшика, то перший має брати п куль з іншого ящика.
Задача 4. Оксана й Оленка обривають на ромашці пелюстки. За один раз можна зірвати будь-яку одну пелюстку або дві, які розташовані поруч. Виграє та дівчина, яка зірве останню пелюстку. Гру починає Оксанка. Хто виграє, якщо на ромашці: а) 24 пелюстки? б) 25 пелюсток.
Розв’язання
а) Виграє Оленка, якщо, будуючи свою стратегію гри, використає центральну симетрію стартової позиції.
б) У цьому випадку стартова позиція гри має осьові симетрії. Їх усього 25 – стільки, скільки ромашка має пелюсток. Оксанка своїм першим ходом не порушить симетрії відносно однієї з цих осей. Але своїм першим ходом й Оленка може не порушити симетрії. Для цього їй треба так зірвати одну або дві пелюстки, щоб між зірваними пелюстками їх залишилось по 11. Другим ходом Оксана вже змушена порушити симетрію. Відповідаючи за кожний хід Оксанки, Оленка щоразу може поновлювати симетрію ігрових позицій, що врешті-решт забезпечить їй перемогу у грі.
Задачі для самостійного розв’язування
Задача 1. Двоє гравців по черзі кладуть п’ятикопійчані монети на прямокутний стіл. Монети повинні повністю вміщуватися на столі і не торкатися одна одної. Той, кому нікуди покласти монету, програє. Хто переможе при правильній грі – той, що ходить першим чи той, хто другим?
Задача 2. На колі розставлено 20 точок. За хід дозволяється сполучити будь-які дві з них відрізком, що не перетинає відрізків, які проведено раніше. Програє той, хто не може зробити хід. Хто переможе при правильній грі – той, що ходить першим чи той, хто другим?
Задача 3. Ромашка має: а) 12 пелюсток; б) 11 пелюсток. За хід дозволяється відірвати або одну, або дві пелюстки, що ростуть поруч. Програє той, хто не може зробити хід. Хто переможе при правильній грі?
Задача 4. Двоє гравців по черзі ставлять хрестики і нулики в клітинки дошки 9 х 9. Перший гравець ставить хрестик, другий – нулик. Наприкінці гри треба підрахувати, скільки є рядків і стовпчиків, у яких хрестиків більше, ніж нуликів – це є очки, набрані першим гравцем. Кількість рядків і стовпців, де нуликів більше – очки другого гравця. Перемагає той, у кого більше очок. Хто переможе при правильній грі?
Задача 5. Двоє гравців по черзі зафарбовують клітинки на клітчастій дошці розміром 200 х 5. Кожним ходом зафарбовуються декілька клітинок, що утворюють квадрат. Зафарбовувати клітинки двічі не дозволяється. Виграє той, хто зафарбовує останню клітинку. Довести, що гравець, який починає, завжди може виграти.
Заняття 188. Побудова стратегії успіху (1 год)
Рекомендовані джерела
1) Федак І.В. Готуємося до олімпіади з математики Ч.І. Теорія чисел, комбінаторика, алгебра https://is.gd/AM4eez
Стор. 44-50
2) Кравчук В. Р. Задачі математичних олімпіад. Видання 2-ге, доповнене / В. Р. Кравчук. — Тернопіль : Підручники і посібники, 2019. —128 с.
Стор. 5-16
Тема 27. Основні методи розвязування олімпіадних задач
Заняття 189. Побудова стратегії успіху (1 год)
Рекомендовані джерела
1) Федак І.В. Готуємося до олімпіади з математики Ч.І. Теорія чисел, комбінаторика, алгебра https://is.gd/AM4eez
Стор. 44-50
2) Кравчук В. Р. Задачі математичних олімпіад. Видання 2-ге, доповнене / В. Р. Кравчук. — Тернопіль : Підручники і посібники, 2019. —128 с.
Стор. 5-16
Тема 28. Стереометричні задачі
Заняття 190. Паралельність у просторі (1 год)
https://www.youtube.com/watch?v=FzNkLk5BX8U
https://www.youtube.com/watch?v=xfmGvRMHo-s
https://www.youtube.com/watch?v=4N_nY87Slyc
https://www.youtube.com/watch?v=7obFb3wnhl8&list=PLYeu7IyFVZj_O2ZA20QaSx9EOZBm5TO67&index=12
https://www.youtube.com/watch?v=GZy-wayIXGg&list=PLYeu7IyFVZj_O2ZA20QaSx9EOZBm5TO67&index=13
Тема 28. Стереометричні задачі
Заняття 193. Перпендикулярність у просторі (1 год)
https://www.youtube.com/watch?v=rm2TxhxJEao&list=PLYeu7IyFVZj_O2ZA20QaSx9EOZBm5TO67&index=31
https://www.youtube.com/watch?v=3tWQlC0MqQE&list=PLYeu7IyFVZj_O2ZA20QaSx9EOZBm5TO67&index=32
https://www.youtube.com/watch?v=n8AgmtbmPk4&list=PLYeu7IyFVZj_O2ZA20QaSx9EOZBm5TO67&index=33
Теорема про три перпендикуляри
https://www.youtube.com/watch?v=94ZKeXFI-8Y&list=PLYeu7IyFVZj_O2ZA20QaSx9EOZBm5TO67&index=38
Заняття 194. Відстань між мимобіжними прямими (1 год)
https://www.youtube.com/watch?v=wHSqPlbyz_E&list=PLYeu7IyFVZj_O2ZA20QaSx9EOZBm5TO67&index=43
https://www.youtube.com/watch?v=zamRYkfPeoA&list=PLYeu7IyFVZj_O2ZA20QaSx9EOZBm5TO67&index=44
Задачі для самостійного розвязування
ABCDA1B1C1D1 - куб з ребром a. Знайдіть відстань між прямими О1А і CD, де О1 - центр грані A1B1C1D1.
Точка K ділить ребро АВ правильного тетраедра АВСD у відношенні AK:KB=2:1. Знайдіть відстань між DK і ВС, якщо АВ=a.
SABC - правильна трикутна піраміда, всі ребра якої мають довжину 1. Знайдіть відстань між ребром SA та медіаною CD трикутника ABC.
Тема 31. Задачі підвищеного рівня складності
Заняття 213-214. Розвязування нестандартних задач (2 год)
Задача 1.1 (10). У трикутнику ABC медіана BE та бісектриса CD перпендикулярні. Відомо, що площа трикутника AВС дорівнює 54 см2 , а довжина CD дорівнює 9 см. Знайти довжину медіани ВЕ.
Задача 1.2 (9). Навколо трикутника ABC описано коло. Через точку B проведено дотичну до кола, яка перетинає продовження сторони CA в точці D за точкою A . Знайти периметр трикутника ABC , якщо AB+AD =AC , CD =3, BAC =60 .
Задача 1.3. (8-9). Нехай M – точка перетину бісектриси кута C і серединного перпендикуляра до сторони AB прямокутного трикутника ABC ; K, L, N – основи перпендикулярів, опущених із M на сторони трикутника. Тоді трикутники AMK і BMK рівні між собою за двома катетами, і тому AM = BM. Трикутники CLM і CNM рівні між собою за гіпотенузою і двома кутами, тому LM = MN, CL = CN. Тоді трикутники ALM і MNB рівні між собою за гіпотенузою і катетом, тому AL = BN. Тоді AC = AL + LC = BN + NC = BC, тобто у прямокутному трикутнику катет і гіпотенуза рівні між собою?
Задача 1.4 (УМО-2002, 8). Нехай ABCD – рівнобедрена трапеція з меншою основою BC. Точки M і N – середини сторін AB і AD відповідно, а відрізок BP – висота трапеції ABCD. Позначимо через Q точку перетину відрізків DM і BN. Довести, що точки P, Q і C належать одній прямій.