14.05.2024
Планіметричні задачі на екстремуми (2 год)
Розв'яжіть задачі:
1) Із усіх прямокутних трикутників із заданою гіпотенузою с знайдіть той, у якого найбільша площа.
2) Із усіх прямокутних трикутників із заданою висотою h до гіпотенузи знайдіть той, що має найменшу площу.
3) Із усіх трикутників із заданою площею S і заданою основою с знайдіть той, що має найменший периметр.
4) Із усіх трикутників із заданими основою і протилежним кутом знайдіть той, який має найбільшу бісектрису, що виходить з цього кута.
5) Із усх трикутників із заданою основою с і периметром 2р знайдіть той, у якого проведена до основи висота є найдовшою.
6) Із усх трикутників із заданою основою с і периметром 2р знайдіть той, у якого проведена до основи медіана є найменшою.
7) Із усіх трапецій, що мають три однакові сторони а, знайдіть ту, у якої площа найбільша.
8) Доведіть, що серед усіх трикутників, вписаних в даний гострокутний трикутник, найменший периметр має трикутник з вершинами в основі висот даного.
15.05.2024
Стереометричні задачі на екстремуми (2 год)
Розв'яжіть задачі:
1) У кулю вписано а) правильну трикутну призму найбільшого об'єму; б) правильну чотирикутну призму найбільшого об'єму. Знайдіть сторону основи а цієї призми, якщо радіус кулі дорівнює R.
2) Основою піраміди є квадрат із стороною а. Дві бічні грані піраміди перпендикулярні до основи, а дві інші нахилені до основи під кутом альфа. У піраміду вписують прямокутні паралелепіпеди так, що чотири вершини кожного з них лежать на бічних ребрах піраміди, а чотири інші - у площині основи. Який із цих паралелепіпедів має найбільший об'єм? Знайдіть його.
3) В основі чотирикутної піраміди з бічними ребрами, рівними b, лежить прямокутник, одна сторона якого рівна а. Знайдіть найбільше значення об'єму піраміди.
4) Знайдіть радіус основи циліндра, який при заданому об'ємі V має найменшу повну поверхню.
16.05.2024
Стереометричні задачі на екстремуми (2 год)
Розв'яжіть задачі:
1) Знайдіть найбільшу площу проекції одиничного куба на площину.
2) В основі чотирикутної піраміди лежить прямокутник, одна сторона якого дорівнює а. Бічні ребра піраміди дорівнюють b. Знайдіть найбільше значення об'єму піраміди.
3) В кулю вписана правильна n-кутна піраміда. При якому двогранному куті між бічною гранню і площиною основи піраміди об'єм піраміди буде найбільшим?
4) В конус із заданим об'ємом вписана піраміда, в основі якої лежить рівнобедрений трикутник з кутом при вершині альфа. При якому значенні альфа об'єм піраміди буде найбільшим?