Esta disciplina oferece uma introdução à Topologia Algébrica com ênfase nas variedades diferenciais. Cubriremos conceitos fundamentais de variedades e fibrados vetoriais, cohomologia de de Rham, homologia singular, Teoria de Morse, e CW-complexos. Recomenda-se familiaridade com estruturas algébricas e noções de geometria diferenciais.

1. Variedades e fibrados vetoriais: Variedades, funções suaves, mergulhos, Teorema de Whitney. Fibrados vetoriais, exemplos, operações, seções, cociclos, Teorema de Serre-Swan. Fibrado tangente, campos, formas.

2. Cohomologia de de Rham: Aditividade, Lema de Poincaré, invariança homotópica, Mayer-Vietoris, cálculos simples. Integração de n-formas, Teorema de Stokes, dualidade de Poincare. Isomorfismo de Thom, classes de Thom e de Euler.

3. Homologia singular: Complexo singular, invariança homotópica, subdivisão baricéntrica, homologia de pares, escição, coeficientes, Stokes para cadeias, Teorema de de Rham, produtos, Teorema de Kunneth.

4. Teoria de Morse: Ley de inercia de Sylvester, Hessiano, lemma de Morse, Teorema do intervalo regular, adjunção de células, Teorema do valor crítico, Existência de funções de Morse. Aplicações.

5. CW-complexos: Definições, exemplos, aproximação celular. Homologia celular, desigualdade de Morse. Grupos de homotopia superiores, grupos relativos, Teorema de Whitehead.