万有引力で引き合う天体の運動を数学的に研究しています.
以下は, 周期的な運動をする軌道です.
特に, 閉曲線を互いに追跡し合うように運動する軌道を舞踏解(choreography)と言います.
軌道が1つの閉曲線からなる場合は単舞踏解(Simple choreography), いくつかの閉曲線からなる場合は多重舞踏解(Multiple choreography)といいます.
藤原俊朗さん(北里大)がSuvakov-Shibayama (2015)で数値的に見つけた周期解のアニメーションを作ってくれました．
http://www.clas.kitasato-u.ac.jp/~fujiwara/nBody/SuvakovShibayama/SuvakovShibayamaChoreography.html
数値計算で求めた単舞踏解です．
270種類くらいあります.
理論的な存在証明がなされていないものも多いです．
回転する正n角形解は古典的に知られています．3体問題の8の字解はChenciner-Montgomeryにより2000年(Ann. of Math.)に，4体問題の超8の字解はShibayamaにより2014年(Arch. Ration. Mech. Anal.)に，「鎖型」の単舞踏解についてはYuにより2017年(Arch. Ration. Mech. Anal.)に存在が示されています．
舞踏解をもとめる数値解法は最急降下法に基づいています. 詳しくは,
Action minimizing periodic solutions in the N-body problem, proceedings of Sino-Japan conference (2011), 2012.
に書いています.
n体問題の鎖型単舞踏解に関して，新たに計算しました．
1と-1の列は対応する組み紐を定める記号列です．詳しくは， 論文
Y. Kajihara, E. Kin, M. Shibayama, A study of braids arising from simple choreographies of the planar Newtonian N-body problem, Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, arXiv.
をご覧ください．この論文に出てくるωのことです．
n=2: (1)
n=4: (1, 1, 1), (1, 1, -1), (1, -1, 1)
n=5: (1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, -1), (1, 1, -1, 1), (1, 1, -1, -1), (1, -1, 1, -1), (1, -1, -1, 1)
n=6: (1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, -1), (1, 1, 1, -1, 1), (1, 1, 1, -1, -1), (1, 1, -1, 1, 1), (1, 1, -1, 1, -1), (1, 1, -1, -1, 1), (1, -1, 1, 1, -1), (1, -1, 1, -1, 1), (1, -1, -1, -1, 1)
n=7: (1,1,1,1,1,1), (1,1,1,1,-1,-1), (1, 1, 1, -1, 1, 1), (1, 1, 1, -1, 1, -1), (1, 1, 1, -1, -1, 1), (1, 1, -1, -1, 1, 1), (1, -1, 1, -1, -1, 1)
n=16: (1, 1, 1,1,1,1,1,-1, -1, 1, 1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 1, -1, -1, 1, -1,- 1,- 1, -1, -1,- 1, 1)
n=19: 1^9 (-1)^9, (1, -1)^9
数学的な存在証明はShibayama, Nonlinearity(2006)にあります.
New periodic solutions to the n-body problem
N-body choreographies - Simo's site
Three-body Gallery - Dmitrasinovic & Suvakov's orbits