Симметрии в физике твердого тела

  Симметрии играют важную роль в различных областях физики и лежат в основе многих физических теорий. Они помогают установить основные закономерности природы и могут быть полезны для решения сложных задач. Так, законы сохранения импульса и момента импульса появляются как следствие трансляционной и вращательной симметрии, а закон сохранения энергии в результате симметрии по отношению к инверсии времени. Строгое использование симметрии в физике основано на математической теории групп и их представлений, связывающих конкретные симметрии физических систем и объектов с операциями над ними. В курсе сначала даются необходимые сведения из теории групп и их представлений, а затем разбираются конкретные физические примеры из физики твердого тела, такие как классификация нормальных мод колебаний молекул и кристаллов, правила отбора, определение возможных видов электронного спектра в кристаллах.

Программа курса:

1. Группы пространственных преобразований. Определение группы, подгруппы, изоморфизма, сопряженного элемента, факторгруппы. Сопряженные классы. Пространственные преобразования твердых тел: повороты, отражения, сдвиги и их комбинации. Определение поворотов, лежащих в одном классе. Примеры пространственных групп: S2, C3, D3.

2. Представления групп. Индуцированное преобразование функций. Операторное и матричные представления. Примеры представлений групп S2, C3, D3. Векторное представление. Инвариантное подпространство. Приводимые и неприводимые представления. Унитарно-эквивалентные представления. Леммы Шура. Свойства ортогональности матричных элементов неприводимых представлений. Характеры представлений.

3. Таблица характеров. Регулярное представление. Соотношения ортогональности для характеров неприводимых представлений. Приведение представлений. Критерий неприводимости. Число неэквивалентных неприводимых представлений. Построение таблицы характеров. Примеры таблицы характеров групп S2, C3, D3. Прямое произведение представлений. Проекционные операторы. Представления прямого произведения групп.

4. Группы вращений SO(2) и SO(3). Задание непрерывных групп. Соотношения ортогональности для непрерывных групп. Инфинитезимальные операторы и неприводимые представления группы SO(2). Инфинитезимальные операторы и неприводимые представления группы SO(3). Угловой момент.

5. Правила отбора в квантовой механике.Действие пространственных преобразований на операторы кинетической и потенциальной энергии. Вырождение и классификация по симметрии собственных значений и собственных функций. Правила отбора и матричные элементы операторов. Законы сохранения.

6. Классификация молекулярных колебаний. Классический гамильтониан молекулярных колебаний в гармоническом приближении. 3N и колебательное представления. Классификация нормальных колебаний. Картина смещений атомов в нормальной моде. Особенности квантовомеханического решения. ИК спектры поглощения и правила отбора. Комбинационное рассеяние и правила отбора.

7. Симметрия кристаллических решеток. Решетка Браве и её симметрия. Подробный разбор типов решеток Браве в одно- и дву-мерном случаях. Общая классификация трехмерных решеток Браве.

8. Симметрия зонной структуры кристаллов. Группа волнового вектора. Метод эффективной массы. Случай невырожденных зон. Определение не равных нулю матричных элементов оператора импульса. Двухзонное приближение для близких зон. Представление о методе эффективной массы Кона-Латтинжера (общий случай). Определение возможных видов электронного спектра.