Аннотация: Этот курс продолжает читавшийся осенью “Топологическая комбинаторика”, однако может изучаться независимо. Курс посвящен предмету, который стал активной и инновационной областью исследований в математике за последние сорок лет с растущим числом приложений в математике, информатике и других прикладных областях. Топологическая комбинаторика занимается решением комбинаторных задач с применением топологических инструментов. В большинстве случаев эти решения очень элегантны, и связь между комбинаторикой и топологией часто оказывается совершенно неожиданной. Курс планируется в двух частях. Вторая часть курса начнется с обсуждения классических теорем дискретной геометрии, таких как теоремы Радона и Тверберга, цветных теорем Хелли и Каратеодори. Затем будут рассмотрены топологические версии теоремы Радона и Тверберга вместе с теоремой Ван Кампена-Фолреса. Эти теоремы можно понимать как утверждения о невложимости гиперграфов в пространства определенной размерности, и для их доказательства потребуется развить некоторый топологический аппарат. Также будут рассмотрены теорема Шнирельмана о нахождении квадрата на гладкой кривой, теоремы о трансверсали, и, если успеем, рассмотрим свойства графов, их сложность и их связь с топологией, и если совсем успеем, рассмотрим дискретную теорию Морса. Курс рассчитан на студентов 3 курса и старше. Предполагается, что слушатели имеют базовые знания из курса топологии.
Примерная программа курса:
Классические теоремы Радона, Тверберга, Хелли.
Цветные версии теоремы Каратеодори и Хелли
Симплициальные комплексы, операции над ними и их свойства
Топологическая теорема Радона, сферы Бира, теорема Ван-Кампена Флореса
Топологическая теорема Тверберга, цветное обобщение
Векторные расслоения, Эйлеров класс векторного расслоения
Теорема Шнирельмана
Первая теорема о трансверсали
Вторая теорема о трансверсали
Свойства графов, их сложность
Уклончивые свойства графов
Коллапсируемые комплексы
Гипотеза Карпа для случая степеней простых
Дискретная теория Морса
Используемая литература:
J. Matousek, Using the Borsuk-Ulam Theorem - Lectures on Topological Methods in Combinatorics and Geometry, Springer, 2003
J. Matousek, Lectures on Discrete Geometry, Springer, 2002
M. de Longueville, A Course in Topological Combinatorics, Springer, 2013
R. Forman, A user’s guide to discrete Morse theory, Seminaire Lotharingien de Combinatoire 48 (2002)