Дифференциальная геометрия и топология

Аннотация : курс “Дифференциальная геометрия и топология” посвящён в основном топологическим вопросам строения гладких многообразий. Основная часть курса является введением в дифференциальную топологию: изучаются способы задания гладких многообразий, теорема Сарда, теорема Уитни, понятие степени отображения, теорема Пуанкаре-Хопфа, введение в когомологии де Рама. Курс рассчитан на студентов второго курса ФПМИ МФТИ. 

Замечание: хотя в названии присутствует "дифференциальная геометрия", курс посвящен больше дифференциальной топологии. Дифференциальная же геометрия представлена  в курсе "Введение в Риманову геометрию" Д.Г. Ильинского, см. old.mipt.ru/upload/medialibrary/cb2/vvedenie-v-rimanovu-geometriyu-_2022.pdf 

Предварительные правила получения оценки: 

В семестре будет 2 контрольных, каждая дает до +2 баллов. 

Будет 4 листочка с домашними заданиями, которые суммарно дают до +7 баллов.  Решения можно сдавать устно по предварительной договоренности с лектором или с другим согласным слушать студента преподавателем или ассистентом, согласованным с лектором. Можно сдавать решения, оформление в TeXе.

Также после некоторых лекций будут выдаваться задачи на пройденный материал, которые выборочно разбираются на семинаре через неделю. Задачи можно отвечать у доски. Таким образом, за работу на занятиях можно получить до +2 баллов

В конце есть экзамен для желающих, на нем можно получить до +5 баллов

Также в конце марта был проведен коллоквиум, на котором можно было получить до +2 баллов.

Исходно у студентов есть штраф -3б

Для сдачи экзамена и коллоквиума будут применяться стандартные критерии, см. третью страничку вот этого файла: old.mccme.ru//circles//oim/home/bally.pdf 

Преподаватели, согласившиеся принимать задачи:

М.В. Блудов bludov.mv@phystech.edu

А.Б. Скопенков

А.Д. Рухович: alex-ruhovich@mail.ru 

Коллоквиум был проведен  27.03.2024, в 15:30 в 201 УПМ. Также с некоторыми преподавателями можно договориться о сдаче в другое время.

Экзамен был проведен  23.05.2024, а также 24.05.2024 

Примерная программа курса:     

1. Вложенные гладкие многообразия

2. Подмногообразие как множество нулей набора функций

3. Касательное пространство, дифференциал отображения, векторные поля

4. Разбиения единицы

5. Теорема Сарда

6. Вложения и погружения, теорема Уитни о вложении

7. Теорема Уитни об аппроксимации

8. Степень отображения, теорема Хопфа

9. Приложения: теорема Брауэра и теорема Борсука-Улама

10. Особые точки векторного поля, тероема Пуанкаре-Хопфа

11. Введение в когомологии де Рама.

Используемая литература: 

1.  Дж. Милнор, А. Уоллес, Дифференциальная топология. Начальный курс 

2. В.В. Прасолов, Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии 

3. А.Б. Скопенков, Алгебраическая топология с геометрической точки зрения

4. Ричард У. Шарп, Дифференциальная геометрия

5. С.П. Новиков, И.А. Тайманов, Современные геометрические структуры и поля

6. А.Т. Фоменко, Д.Б. Фукс, Курс гомотопической топологии

7. О.Я. Виро, О.А. Иванов и др., Элементарная топология 

8. John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Second Edition

Пререквезиты

Список задач-пререквезитов совпадает со списком предварительных умений для курса "Конкретная дифференциальная топология" 

Материалы первой лекции: DGT Lecture and Exercises 1 . 

Программа коллоквиума:  DGT программа коллоквиума 

Программа экзамена: DGT программа экзамена 

Первый листочек: DGT HW 1 

Второй листочек: DGT HW 2 

Третий листочек: DGT HW 3 

Четвертый листочек: DGT HW 4 

Правила сдачи и приема коллоквиума: Правила коллоквиум

Правила сдачи и приема экзамена: Правила экзамена