Дополнительные главы топологической комбинаторики

Аннотация:  Этот курс продолжает читавшийся осенью “Топологическая комбинаторика”, однако может изучаться независимо. Курс посвящен предмету, который стал активной и инновационной областью исследований в математике за последние сорок лет с растущим числом приложений в математике, информатике и других прикладных областях. Топологическая комбинаторика занимается решением комбинаторных задач с применением топологических инструментов. В большинстве случаев эти решения очень элегантны, и связь между комбинаторикой и топологией часто оказывается совершенно неожиданной. Курс планируется в двух частях. Вторая часть курса начнется с обсуждения классических теорем дискретной геометрии, таких как теоремы Радона и Тверберга, цветных теорем Хелли и Каратеодори. Затем будут рассмотрены топологические версии теоремы Радона и Тверберга вместе с теоремой Ван Кампена-Фолреса. Эти теоремы можно понимать как утверждения о невложимости гиперграфов в пространства определенной размерности, и для их доказательства потребуется развить некоторый топологический аппарат. Также будут рассмотрены теорема Шнирельмана о нахождении квадрата на гладкой кривой, теоремы о трансверсали, и, если успеем, рассмотрим свойства графов, их сложность и их связь с топологией, и если совсем успеем, рассмотрим дискретную теорию Морса. Курс рассчитан на студентов 3 курса и старше. Предполагается, что слушатели имеют базовые знания из курса топологии.

Примерная программа курса:     

1.  Классические теоремы Радона, Тверберга, Хелли.

2.  Цветные версии теоремы Каратеодори и Хелли

3.  Симплициальные комплексы, операции над ними и их свойства

4.  Топологическая теорема Радона, сферы Бира, теорема Ван-Кампена Флореса

5.  Топологическая теорема Тверберга, цветное обобщение

6.  Векторные расслоения, Эйлеров класс векторного расслоения

7. Теорема Шнирельмана

8. Первая теорема о трансверсали

9. Вторая теорема о трансверсали

10. Свойства графов, их сложность

11.  Уклончивые свойства графов

12. Коллапсируемые комплексы

13.  Гипотеза Карпа для случая степеней простых

14.  Дискретная теория Морса

Используемая литература: 

1. J. Matousek, Using the Borsuk-Ulam Theorem - Lectures on Topological Methods in Combinatorics and Geometry, Springer, 2003

2. J. Matousek, Lectures on Discrete Geometry, Springer, 2002

3. M. de Longueville, A Course in Topological Combinatorics, Springer, 2013

4. R. Forman, A user’s guide to discrete Morse theory, Seminaire Lotharingien de Combinatoire 48 (2002)