Дифференциальная геометрия и топология

Аннотация : курс “Дифференциальная геометрия и топология” посвящён в основном топологическим вопросам строения гладких многообразий. Основная часть курса является введением в дифференциальную топологию: изучаются способы задания гладких многообразий, теорема Сарда, теорема Уитни, понятие степени отображения, элементы теории Морса. Курс расчитан на студентов второго курса ФПМИ МФТИ. 

Замечание: хотя в названии присутствует "дифференциальная геометрия", курс посвещен больше дифференциальной топологии. Дифференциальная же геометрия представлена  в курсе "Введение в Риманову геометрию" Д.Г. Ильинского, см. old.mipt.ru/upload/medialibrary/cb2/vvedenie-v-rimanovu-geometriyu-_2022.pdf 

Предварительные правила получения оценки: 

В семестре будет 2 контрольных, каждая дает до +2 баллов. 

Будет 4 листочка с домашними заданиями, которые суммарно дают до +6 баллов.  Решения можно сдавать устно по предварительной договоренности с лектором или с другим согласным слушать студента преподавателем или ассистентом, согласованным с лектором. Можно сдавать решения, оформленние в TeXе.

Также после лекций будут выдаваться задачи на пройденный материал, которые выборочно разбираются на семинаре через неделю. Задачи можно отвечать у доски. Таким образом, за работу на занятиях можно получить до +3 баллов

В конце есть экзамен для желающих, на нем можно получить до +5 баллов

Также в начале марта будет проведен коллоквиум, на котором можно получить до +2 баллов.

Исходно у студентов есть штраф -4б

Для сдачи экзамена и коллоквиума будут применяться стандартные критерии, см. третью страничку вот этого файла: old.mccme.ru//circles//oim/home/bally.pdf 

Преподаватели, согласившиеся принимать задачи:

М.В. Блудов bludov.mv@phystech.edu

А.Б. Скопенков

А.Д. Рухович: alex-ruhovich@mail.ru 

Коллоквиум планируется провести  27.03.2024, в 15:30 в 201 УПМ. Также с некоторыми преподавателями можно договориться о сдаче в другое время.

Примерная программа курса:     

1. Вложенные гладкие многообразия

2. Подмногообразие как множество нулей набора функций

3. Касательное пространство, дифференциал отображения, векторные поля

4. Разбиения единицы

5. Теорема Сарда

6. Вложения и погружения, теорема Уитни о вложении

7. Особые точки векторного поля

8. Степень отображения, теорема Хопфа

9. Приложения: теорема Брауэра и теорема Борсука-Улама

10. Элементы теории Морса

Используемая литература: 

1.  Дж. Милнор, А. Уоллес, Дифференциальная топология. Начальный курс 

2. В.В. Прасолов, Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии 

3. А.Б. Скопенков, Алгебраическая топология с геометрической точки зрения

4. Ричард У. Шарп, Дифференциальная геометрия

5. С.П. Новиков, И.А. Тайманов, Современные геометрические структуры и поля

6. А.Т. Фоменко, Д.Б. Фукс, Курс гомотопической топологии

7. О.Я. Виро, О.А. Иванов и др., Элементарная топология 

8. John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Second Edition

Пререквезиты

Список задач-пререквезитов совпадает со списком предварительных умений для курса "Конкретная дифференциальная топология" 

Материалы первой лекции: DGT Lecture and Exercises 1 . 

Программа коллоквиума:  DGT программа коллоквиума 

Правила сдачи и приема коллоквиума: Правила коллоквиум