Home page di Michela Procesi

Professore Ordinario- MAT05 Analisi Matematica- Dipartimento di Matematica e Fisica- Universita di Roma Tre,  link alla DIDATTICA

link al mio talk all' ICM Stability and recursive solutions for Hamiltonian PDEs

• November 2012- Oct. 2018  Principal Investigator of the ERC starting grant: Hamiltonian PDEs and small divisor problems: a dynamical systems approach.
  
  

• Main Reaserch Interests

• Hamiltonian Partial Differential Equations:

  • Periodic and Quasi-Periodic solutions for semi-linear PDEs

  • Normal forms, Periodic and Quasi-Periodic solutions for completely resonant PDE's 

  • Lindstedt series and Small divisor problems in high dimensional PDE's

• Nash-Moser Implicit Function Theorems

• Dynamical Systems:  Arnold Diffusion

• Integrable PDEs

Attività di Ricerca:

Mi occupo principalmente di analisi non lineare e sistemi dinamici. I miei primi interessi scientifici sono stati nell'ambito delle EDP integrabili e in particolare i test di integrabilità. Nella tesi di dottorato ho studiato problemi legati alla diffusione di Arnold. Attualmente i miei principali interessi di ricerca sono legati ai problemi di piccoli divisori e alla ricerca di soluzioni quasi-periodiche piccole per sistemi dinamici ed in particolare per EDP quali per esempio l'equazione di Schrodinger e delle onde non lineari su tori o gruppi di Lie compatti. Ho affrontato questi problemi usando sia tecniche di rinormalizzazione che teoria KAM e metodi Nash-Moser. Mi sono anche interessata alla generalizzazione dei teoremi KAM per esistenza e stabilità di soluzioni quasi-periodiche per EDP completamente non-lineari, questo richiede l'uso di strumenti del calcolo pseudo e para-differenziale.

 Mi sono anche occupata di problemi legati alle forme normali di Birkhoff, in particolare per lo studio di fenomeni di stabilità ed instabilità – controllo/crescita delle norme di Sobolev- per l' equazione di Schrodinger nonlineare su un toro. Tali questioni richiedono l'uso di  metodi combinatori interessanti, che sono applicabili in vari contesti.

Recentemente ho studiato il problema della costruzione di tori infinito dimensionali  per NLS (sul cerchio) e collateralmente quello di introdurre schemi KAM in cui la condizione di piccolezza non tenda a zero con il numero di frequenze. In questo ambito ho dimostrato l'esistenza di soluzioni almost-periodiche deboli per la NLS sul toro.

finanziamenti

PRIN:

2002- Problemi Nonlineari: Equazioni ellittiche e Sistemi Hamiltoniani (Ambrosetti)

2009-  Sistemi Hamiltoniani infinito dimensionali ed Equazioni alle Derivate Parziali (Terracini)

2012- Aspetti variazionali e perturbativi nei problemi differenziali nonlineari (Terracini)

2015- Variational methods, with applications to problems in mathematical physics and geometry. (Malchiodi)

2020- Local coordinator of: Hamiltonian and dispersive PDEs (Berti)

2022- Stability in Hamiltonian dynamics and beyond (Sorrentino)

Publications:

[0] A. Degasperis e M. Procesi A test in Asymptotic Integrability of 1 + 1 wave equations in Proceedings of the international conference in Tiruchirapalli India, Feb 1998 pp.17-23

[1] A. Degasperis, M. Procesi: Asymptotic Integrability, in Proceedings of the International Workshop on Symmetry and Perturbation Theory SPT98, A. Degasperis, G. Gaeta ed. World Scientic Press pp. 23-37. This paper has more than 600 citations on Scopus 

[2] M. Procesi: Exponentially small splitting and Arnold diffusion for multiple time scale systems Rev. Math. Phys. 15, 4 (2003), pp. 339-386

[3] G. Gentile, V. Mastropietro, M. Procesi: Periodic solutions of completely resonant nonlinear wave equations Comm. Math. Phys. 256, 2 (2005), pp. 437-490

[4] M. Procesi: Quasi-periodic solutions for completely resonant nonlinear wave equations in 1D and 2D  Discr. Cont. Dyn. Syst. A 13, 3 (2005) pp. 541-552

[5] G. Gentile, M. Procesi: Conservation of resonant periodic solutions for the one dimensional nonlinear Schrodinger equation, Comm. Math. Phys. 262, 3 (2006), pp. 533-553.

[6] M. Berti, M. Procesi: Quasi-periodic oscillations for wave equations under periodic forcing Rendiconti Mat. Acc. Naz. Lincei. s.9 16 (2005) pp. 109-116.

[7] M. Berti, M. Procesi: Quasi-periodic solutions of completely resonant forced wave Comm. in PDEs 31 , 6 (2006), pp.959-985.

[8] V. Mastropietro, M. Procesi: Lindstedt series for periodic solutions of beam equations under quadratic and velocity dependent nonlinearities Comm. Pure Appl. Anal. 5, 1, (2006) pp. 1-28

[9] G. Gentile, M. Procesi: Periodic solutions for the Schrodinger equation with non-local smoothing nonlinearities in higher dimension. J. Diff. Eq. Vol. 245, (2008) pp. 3253-3326

[10] G. Gentile, M. Procesi: Periodic solutions for a class of nonlinear partial differential equations in higher dimension. Comm. Math. Phys. vol. 289; pp. 863-906 (2009)

[11] M. Berti, P. Bolle, M. Procesi: An abstract Nash Moser theorem with applications to non linear PDEs Annales Inst. Poincare vol. 27; (2010) pp. 377-399.

[12] M. Berti, M. Procesi: Nonlinear wave equations on Compact Lie groups and homogeneous manifolds. Duke Math. J. Vol. 159, n. 3 (2011), p. 479-538.

[13] L. Corsi, G. Gentile, M. Procesi: KAM theory in configuration space and cancellations in the Lindstedt series Communications in Mathematical Physics 302 (2011), no. 2, 359-402.

[14] M. Procesi: A normal form for beam and non-local nonlinear Schrodinger equations J. Phys. A: Math. Theor. Vol: 43 (2010) n. 434028


[15] Procesi C.and Procesi M.: A normal form of the nonlinear Schrodinger equation with analytic non--linearities Comm. Math. Phys 312 (2012), 501-557

[16] Berti M. , Biasco L. Procesi M.: KAM theory for the Hamiltonian derivative wave equation  Annales Scientifiques de l' ENS  46 (2) 2013

[17] Procesi M. and Xu X.: Quasi-Toplitz Functions in KAM Theorem.  SIAM J. of Math. Anal. vol. 45, p. 2148-2181

[18] Bich V. Procesi C. and  Procesi M.:  The energy graph of the nonlinear Schrodinger equation. Rend. Lincei Mat. Appl., 24, 2013.

[19] Berti M. , Biasco L. Procesi M. Existence and stability of quasi-periodic solutions for derivative wave Rend. Lincei Mat. Appl. p. 199-214 vol 24, 2013

[20] Berti M. , Biasco L. Procesi M. KAM for Reversible Derivative Wave Equations, Archive for Rational Mechanics and Analysis: Volume 212, Issue 3 (2014), Page 905-955

[21] Berti M., Corsi L., Procesi M. An abstract Nash-Moser theorem and quasi-periodic solutions for NLW and NLS on compact Lie groups and homogeneous manifolds Comm. Math. Phys. 334 (2015) n.3 pp. 1413-1454

[22] M. Procesi, C. Procesi: A KAM algorithm for the resonant non-linear Schroedinger equation Advances in math. (2015), pp. 399-470

[23] L.Corsi, E. Haus, M. Procesi: A KAM result on Compact Lie Groups, Acta Appl. Math, 137 (2015) 41–59.

[24] E. Haus, M. Procesi: Growth of Sobolev norms for the quintic NLS on T^2, Analysis and PDEs 8 (2015), 883-922.

[25] R. Feola, M. Procesi: Quasi-periodic solutions for fully nonlinear forced reversible Schroedinger equations, J. D.E. 259 (2015) 7.

[26] M. Procesi, C. Procesi: Reducible quasi-periodic solutions for the non linear Schrödinger equation. Boll. Unione Mat. Ital. 9 (2016) 189–236.

[27] M. Guardia, E. Haus, M. Procesi: Growth of Sobolev norms for the defocusing analytic NLS on T^2. Advances in Math. 301 (2016), 615–692.

[28] Procesi, C.; Procesi, M. The NLS on a torus. Theory and applications in mathematical physics, 107–118, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2016. 35Q55

[29] E. Haus, M. Procesi: KAM for beating solutions of the quintic NLS , Comm. Math. Phys. 354 (2017) 3. pp 1101–1132

[30] L.Corsi, R. Feola, M. Procesi:Finite dimensional invariant KAM tori for tame vector fields, , 2019, 372(3), pp. 1913–1983

[31]  Maspero, A., Procesi, M.  Long time stability of small finite gap solutions of the cubic nonlinear Schrödinger equation on T2 (2018) Journal of Differential Equations, 265 (7), pp. 3212-3309.

[32] Feola, R., Giuliani, F., Montalto, R., Procesi, M. Reducibility of first order linear operators on tori via Moser's theorem (2019) Journal of Functional Analysis, 276 (3), pp. 932-970.

[33] Biasco, L., Massetti, J.E., Procesi, A note on the construction of Sobolev almost periodic invariant tori for the 1d NLS Atti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, Rendiconti Lincei Matematica e Applicazioni, 31 (4), pp. 981-993

[34] Biasco, L., Massetti, J.E., Procesi, M. An Abstract Birkhoff Normal Form Theorem and Exponential Type Stability of the 1d NLS (2020) Communications in Mathematical Physics, 375 (3), pp. 2089-2153

[35] Feola, R., Giuliani, F., Procesi, M. Reducible KAM Tori for the Degasperis–Procesi Equation

(2020) Communications in Mathematical Physics, 377 (3), pp. 1681-1759.

[36] Montalto, R., Procesi, M. Linear Schrödinger equation with an almost periodic potential (2021) SIAM Journal on Mathematical Analysis, 53 (1), pp. 386-434.

[37] Biasco, L., Massetti, J.E., Procesi, M.Almost periodic invariant tori for the NLS on the circle (2021) Annales de l'Institut Henri Poincare (C) Analyse Non Lineaire, 38 (3), pp. 711-758.

[38] Corsi, L., Montalto, R., Procesi, M. Almost-Periodic Response Solutions for a Forced Quasi-Linear Airy Equation (2021) Journal of Dynamics and Differential Equations, 33 (3), pp. 1231-1267.

[39] Procesi, M., Stolovitch, L. About Linearization of Infinite-Dimensional Hamiltonian Systems (2022) Communications in Mathematical Physics, 394 (1), pp. 39-72.

[40] Guardia, M., Hani, Z., Haus, E., Maspero, A., Procesi, M. Strong nonlinear instability and growth of sobolev norms near quasiperiodic finite-gap tori for the 2d cubic NLS equation,J. Eur. Math. Soc. 25 (2023), no. 4, pp. 1497–1551

[41]  Biasco, L., Massetti, J.E., Procesi, Weak Sobolev almost periodic solutions for the 1D NLS, Duke Math. J. 172 (2023), pp. 2643–2714

[42]  Haus, E., Langella, B., Maspero, A., Procesi, M., Reducibility and nonlinear stability for a quasi-periodically forced NLS to appear on Pure and Applied Mathematics Quarterly

Invited speaker in international conferences:

-Trimester on Dynamical systems, Sissa Trieste sept.-dec ’03.

-Dynamical Systems: Classical, Quantum and Stochastic, Acireale sept. ’04.

-Integrable Systems, Cuernavaca (Mx) 9-16 nov. ’04

-AIMS’ Sixth International Conference on Dyn. Systems, Diff. Equations and Applications 25-28 june 2006.

-SPT2007 (Otranto 2-9 june 2007).

-Dynamics Days Europe, Loughborough (UK) 9-13 luglio 2007.

-Renormalization in dynamical systems Inst. Erwin Schrodinger Vienna october 2007.

-Summer School Hamiltonian PDE’s and Variational Methods, CAPRI, Villa Orlandi 8-12 sept. 2008.

-Indam-ERC intensive period: New connections between dynamical systems and Hamiltonian PDEs NAPOLI, April 1- June 6, 2009.

-Workshop on ”New connections between dynamical systems and Hamiltonian PDEs”, Capri October 15-16 2010.

-Workshop KAM theory and Cauchy problems for PDEs, 23-27 may 2011.

-Integrability and Physics, Conference in honour of Antonio Degasperis 70's birthday, La Sapienza, Rome, 25/03/2011.

-XIX Congresso UMI, Bologna, 12 settembre 2011.

-Mechanics: classical, statistical and quantum (in honor of the 70th birthday of Giovanni Gallavotti), La Sapienza, Rome, 2-5/07/2012.

-Nonlinear Hamiltonian PDEs, Ascona, July 1 - 6, 2012.

- Hamiltonian and Dispersive Equations CIRM Luminy 24-28 july 2013.

- Multiscale methods in Small Divisor problems. Maiori 16-20 Sept. 2013.

- "16th General Meeting of the European Women in Mathematics", Bonn (Germany), Sept. 2013- Plenary speaker.

-SPT 2014, Cala Gonone (Italy), May 2014.

-Geometric and Analytic Aspects of Integrable and nearly-Integrable Hamiltonian Systems ,

University of Milano-Bicocca (Italy), 18-20 June 2014

- Dynamics and PDEs, Cargese (Corsica, France) 11-14 November 2014.

- KAM and Dispersive Methods in PDEs, Milano (Italy) 1-5 December 2014.

- Two-day meeting in honor of Antonio Ambrosetti, Venezia (Italy) 14-15 December 2014.

- The Conference on Hamiltonian Dynamical Systems, Fudan University in Shanghai (China), 4-10 January 2015.

- "Sixth Itinerant Meeting in PDEs" Trieste, 14-16 January 2015.

- Summer school "Normal forms and large time behavior for nonlinear PDE", Nantes (France), 22 June-3 July 2015.

-SIAM Conference Analysis and PDEs, Scottsdale (USA), 7-10 Dec 2015

- Dynamics of Evolution Equations, CIRM -Luminy (France) March 21-25, 2016

- Dynamical Systems, Differential Equations and Applications Orlando July 1-5, 2016.

-Summer School Nonlinear Waves, IHES Paris (France) 18-29 July 2016,

-Dynamics and PDEs, Saint Etienne de Tinée (France), Feb. 2017.

Invited speaker for  Mini-courses 

- Dynamics and PDEs , S. Etienne de Tinée, 3-8 Fevrier 2013.

-Summer School Nonlinear Waves, IHES Paris (France) 18-29 July 2016.

 Workshop "dynamics of hamiltonian PDEs" La Thuile, Feb 2018

- Workshop “Variational Methods in analysis, geometry and physics” Pisa, Feb 2018

-Workshop on Quasi-periodic Dynamics and Schrödinger operators Nanjing 3-7 Set. 2018.

-Leaning tori (Scuola Normale Superiore, Pisa, 20-23 May 2019

-Invited speaker to the international Congress of Mathematical Physics  (section Dynamical systems) Geneva, 2-7 Aug 2021

-INdAM Workshop "Qualitative properties of dispersive PDEs", Roma 2-7 Sept. 2021

-Dynamics Days (Journées de Dynamique) at the University of Paris, Oct. 2021

-Invited speaker to Iternational Congress of Mathematics (section Dynamical systems)  July 2022

-H2020 in Hamiltonian Dynamics, Venezia, July 2022

- UZH,CH, “Analysis and Hamiltonian PDEs, a conference in memoriam of Thomas Kappeler”, June 2023

-Wave dynamics- ICTP Trieste, Aug 2023

Invited speaker per Mini-corsi in conferenze:

- Dynamics and PDEs , S. Etienne de Tinée, 3-8 Fevrier 2013.

-Summer School Nonlinear Waves, IHES Paris (France) 18-29 July 2016.

- Interactions between Dynamical Systems and Partial Differential Equations, Barcellona June 2018

-Normal forms and splitting methods Pornichet June 2022

-School of Mathematical Physics Ravello, Sept. 2022

-Dynamics Days -Paris June 2024

Attività organizzative di convegni/scuole:

Congresso UMI- Siena 2015 ho organizzato la sessione S1 Analisi non lineare e sistemi Hamiltoniani

Membro del Comitato organizzativo:

• Summer School Hamiltonian PDE’s and Variational Methods, CAPRI, Villa Orlandi

8-12 september 2008.

• Indam-ERC intensive period: New connections between dynamical systems and

Hamiltonian PDEs NAPOLI, April 1- June 6, 2009.

• Workshop on ”New connections between dynamical systems and Hamiltonian

PDEs”, October 15-16 2010.

• International Workshop on “KAM and Cauchy Theory for PDEs”, June 4-7 2012.

• School and Workshop “New perspectives in nonlinear PDEs”, September 17-29 2012.

Membro del comitato scientifico e organizzativo:

• Symmetry and perturbation theory SPT(2007) 2-9 june 2007.

• KAM theory and Cauchy problems for PDEs, school and workshop 17-27 may

2011.

• Workshop on Multiscale methods in Small Divisor problems. Maiori 16-20 Sept.

2013

• Roman Summer School and Workshop: KAM Theory and Dispersive PDEs. Rome 1-11 Sept. 2014

• Hamiltonian Dynamics PDEs and Waves on the Amalfi coast, Maiori 5-11 Sept. 2016

• “Analysis and Dynamics, in occasion of Luigi Chierchia's 60th birthday” Patù, 12-15

ottobre 2017.

• Hamiltonian and Dispersive PDEs, 2 school and workshop Roma 15-19 Maggio 2023

Nell'ambito del progetto ERC di M. Berti a Napoli ho organizzato i cicli di seminari settimanali e minicorsi per il dottorato e post.doc.

Nell'ambito del progetto ERC di cui sono stata responsabile ho organizzato seminari e minicorsi per il dottorato e post.doc.

Referee per vari giornali internazionali fra cui:

Inventiones, Annals of Math, Comm. Math. Phys., Discr. Cont. Dyn. Syst., Ann. Inst. H. Poincare, Comm. Pure and Applied Math., Nonlinearity.

Referee per l’Agencie Nationale de la Recherche

CoEditor di Zeithschirft fur Angevante Math. Phys.

  STUDENTI

Undergraduate students:

Triennale:  (A  Sapienza) Jacopo Sbrolli (Fisica)Il teorema di Arnold-Liouville.

 A Roma 3:

Gabriele Lioy (Fisica) Teoria delle biforcazioni e applicazioni al problema dei tre corpi.

Matteo Pandolfi (Matematica) La Trasformata di Fourier

Nicoletta Camerini (Matematica) Funzioni Periodiche Serie di Fourier e applicazioni.

Giulia Bassanelli  (Matematica) Sistemi dinamici, ODE e Teoremi di Rettificazione.

Francesca Riggi,   Il teorema della Divergenza e le sue applicazioni

Davide Zaccaria  (Fisica) Operatore di Schrodinger con potenziale periodico e quasi-periodico. 

Cristina pavese (Matematica) La trasformata di Fourier e applicazioni

Magistrale:

Shulamit Terracina:(Matematica) Riducibilita' per PDE con coefficienti quasi-periodici nel tempo.

Matteo Pandolfi (Matematica) Forma Normale Di Birkhoff.

Laura Fagotto: Stabilita' nonlineare per l'equazione delle onde completamente risonante.

PhD Students:

Roberto Feola (Sapienza)  Quasi-periodic solutions for fully nonlinear NLS

Lorenzo Baroni: in corso

mentoring :  Elisa Magistrelli( Federico II), 

Filippo  Giuliani (SISSA) KAM for quasi-linear PDEs

Post-docs: Livia Corsi, Emanuele Haus, Alberto Maspero, Jessica Massetti, Shidi Zhou, Filippo Guliani, Stefano Pasquali.

Risultati principali

Risultati principali (per i lavori citati vedere le pubblicazioni elencate):

Nel lavoro di Tesi di Laurea, ho sviluppato un test (basato su una congettura, riguardo alle espansioni in serie formali) per determinare l'integrabilita di PDE sul cerchio. Questo test ha permesso di individuare una nuova equazione integrabile (Degasperis-Procesi) -vedi [1]- che è stata ampiamente studiata per le possibili applicazioni all'idrodinamica.  In effetti, benche’ tale equazione sia integrabile nel senso di Lax, non si sa dimostrare ne’ l’esistenza di una mappa di Birkhoff ne di soluzioni quasi-periodiche, e la maggior parte della letteratura riguarda la costruzione di soluzioni speciali (peakons o soluzioni periodiche). Recentemente, con Feola e Giuliani, ho ripreso lo studio di tale equazione dal punto di vista della costruzione di soluzioni quasi-periodiche piccole di cui siamo in grado di dimostrare esistenza e stabilita’ lineare.

Nella tesi di Dottorato ho lavorato sul problema dello splitting omoclino e diffusione di Arnold.  Ho utilizzato principalmente tecniche diagrammatiche sivluppate in questo ambito da Chierchia e Gallavotti.  Il mio contributo principale è stato trovare una nuova costante del moto formale che mi ha permesso di dimostrare una congettura di Gallavotti sulla matrice di splitting di un sistema a priori stabile con più scale temporali, vedi [2].

Con Gentile e Mastropietro in [3,5,8] ho contribuito a generalizzare le tecniche di serie di Lindstedt per la determinazione di soluzioni periodiche per PDE. Il primo risultato è stato l'esistenza di soluzioni periodiche per l'equazione delle onde non lineare completamente risonante. Questo  è stato (assieme al contemporaneo lavoro di Berti e Bolle) il primo risultato di questo tipo, la maggiore difficoltà sta nel gestire contemporaneamente il problema ai piccoli divisori  e la risoluzione dell'equazione di biforcazione infinito dimensionale.

Assieme a G. Gentile [9,10] ho anche generalizzato le tecniche alla Lindstedt a PDE su tori di dimensione qualsiasi, dove le seconde condizioni di Melnikov non sono verificate; questo ci ha permesso di dimostrare l'esistenza di soluzioni periodiche a pacchetto d'onda per la NLS completamente risonante.

Nel lavoro [4] e poi  in [6,7] con Berti, ho studiato una equazione di onde non-lineare sul toro bidimensionale ed ho dimostrato l'esistenza di soluzioni quasi-periodiche con due frequenze. L'idea principale è di restringersi ad un appropriato sottospazio invariante su cui l'equazione si semplifica in modo significativo. A parte un recente preprint di W.M. Wang questi sono a tutt'ora gli unici risultato di esistenza di soluzioni quasi-periodiche per tale equazione.

Nash-Moser: In collaborazione con  Berti e Bolle [11] ho sviluppato un algoritmo Nash-Moser astratto che si è rivelato utile nelle applicazioni ai problemi ai piccoli divisori legati all'esistenza di soluzioni periodiche e quasi-periodiche per PDE su varietà compatte.

Assieme a Berti [12] e poi a Berti e Corsi [13] ho quindi dimostrato l'esistenza di soluzioni periodiche, e poi quasi-periodiche, per NLS e NLW su una varietà omogenea compatta. Al momento questi sono gli unici risultati di questo tipo per varietà di rango maggiore di uno (la rimanente letteratura riguarda solo il caso di sfere o varietà di Zoll, che sono molto più semplici da studiare).

Teoria KAM:  Assieme a X. Xu  ho studiato l'esistenza e stabilità di soluzioni quasi-periodiche per la  NLS sul toro (di dimensione arbitraria). Qui uno dei problemi principali è di avere una descrizione precisa dell'asintotica degli autovalori dell'equazione linearizzata in una soluzione approssimata. Questo problema è stato affrontato per la prima volta da Kuksin ed Eliasson introducendo la classe delle Hamiltoniane Toplitz-Lipschitz.  In [16] abbiamo semplificato tale approccio definendo una  nuova  classe di funzioni, le  quasi-Toplitz,  che sono  più generali e (forse) più semplici da usare. 

Assieme a M. Berti e L. Biasco  ho generalizzato tale classe di funzioni  per studiare la equazione delle onde con una derivata nella non linearità, sia in ambito Hamiltoniano [17]  che reversibile [19, 20].

Recentemente mi sono interessata all'uso di metodi di calcolo pseudo e para differenziale per dimostrare l'esistenza e stabilità di soluzioni quasi periodiche per PDE completamente non lineari sul cerchio. Questa strategia è stata proposta da Baldi Berti e Montalto per la KdV e poi generalizzata al caso delle onde d’acqua. Con R. Feola in [25] abbiamo studiato una NLS forzata con due derivate nella nonlinearità, generalizzando  la strategia proposta per la KdV.  In [30] con Feola e Corsi abbiamo quindi studiato una  strategia  generale che permetta di studiare per esempio anche casi autonomi e/o reversibili. Tale approccio, nel caso di una NLS completamente non-lineare permette anche di dimostrare l'esistenza di soluzioni analitiche (per la sua natura la strategia proposta da BBM produce soluzioni con regolarità finita)  con R. Feola [31]. Infine con R. Feola, F. Giuliani e R. Montalto in [33] abbiamo dimostrato la riducibilita' di operatori del prim'ordine su tori di dimensione arbitraria.

Forme Normali: In collaborazione con C. Procesi ho dimostrato l'esistenza di una forma normale approssimata integrabile per la NLS completamente risonante sul toro. Questo risultato non è di natura perturbativa (il cambiamento di coordinate che integra la forma normale non è vicino all'identità) e richiede l'utilizzo contemporaneo di varie metodologie quali calcolo combinatorio, algebra e geometria algebrica. Questo approccio algebrico-combinatorio è un metodo innovativo per studiare in grande dettaglio la cosiddetta  geometria dei siti singolari e quindi costruire delle forme normali integrabili e non degeneri quando le condizioni di Melnikov non sono soddisfatte e quindi le trasformazioni non sono vicine all’identità. Questo è stato il primo risultato di riducibilità non-perturbativa per un sistema infinito dimensionale.

 In [15,14] abbiamo introdotto il metodo e studiato la forma normale, in [18] abbiamo dimostrato la non degenerazione ed infine in [22], [26] abbiamo dimostrato esistenza e stabilità dei tori KAM (generalizzando ulteriormente la classe delle funzioni quasi-Toplitz). Con Maspero, in [32] abbiamo generalizzato tali tecniche per dimostrare  la riducibilita' e un passo di  stabilita' nonlineare delle finite gap solutions unidimensionale nella NLS su T^2. Con Haus, Langella e Maspero ho discusso la stabilita' nonlineare dei tori KAM nella NLS su T^2.

Parallelamente, con Massetti e Biasco,  mi sto interessando anche di problemi di stabilita’ non lineare vicino a zero per la NLS con parametri esterni sul cerchio, qui lo scopo e’ di dare stime di tipo Nekoroshev (esponenziali o subesponenziali w.r.t la taglia del dato iniziale) per i tempi di stabilita’, sia nel caso di dati iniziali analitici che in classe Sobolev.

Crescita delle norme di Sobolev: Un problema duale a quello  della esistenza e stabilità di soluzioni quasi- periodiche è quello di costruire soluzioni instabili in cui si trasferisce energia dai modi di Fourier bassi a quelli alti. Il primo risultato in questa direzione è stato ottenuto dall'I-team per la NLS cubica sul toro bidimensionale. In  [24]  con Haus,  abbiamo generalizzato tale risultato ad una NLS  di grado cinque e poi, in [27], con Haus e Guardia ad una NLS analitica qualsiasi.  Tale generalizzazione richiede tutta una serie di nuove idee nella costruzione  e nello studio del generation set, che è il punto di partenza nel lavoro dell'I-team. In particolare si fa uso di varie tecniche combinatorie introdotte in [15]. In [29] con Haus abbiamo anche studiato soluzioni quasi-periodiche che abbiano un trasferimento ricorrente di energia fra i modi di Fourier. Con Guardia-Hani-Haus e Maspero ho anche studiato fenomeni di instabilità trasversale, cioè il fatto che molte soluzioni della 1d-NLS sono instabili secondo Lyapunov se viste come soluzioni della 2d-NLS.

Soluzioni almost-periodiche: Con Biasco e Massetti, abbiamo studiato il problema della costruzioni di tori infinito dimensionali invarianti per la NLS sul cerchio con parametri esterni. Basandoci su questa equazione modello, gia’ studiata da Bourgain in un caso particolare, abbiamo formulato una strategia "astratta" per la  ricerca di tori invarianti ellittici indipendentemente dalla dimensione che ci permette in particolare di ricavare tutti i (pochi) risultati noti riguardo ai tori massimali. Lo stesso risultato ci permette di dimostrare esistenza e stabilita’ lineare di tori non massimali di dimensione infinita. Estendendo quela linea di pensiero siamo riusciti a costruire soluzioni almost-periodiche deboli, si tratta delle prime soluzioni almost-periodiche di bassa regolarità costruite per una equazione non integrabile. Seguendo un approccio parallelo, basato sulla costruzione diretta di tori invarianti con tecniche diagrammatiche, con Corsi e Gentile ho infine dimostrato l’esistenza di  soluzioni almost-periodiche per una NLS con potenziale di convoluzione arbitrariamente regolare.