Решение. Заметим, что разность двух чисел делится на их НОД.

Тогда 2⁴⁰-1-(2³⁰-1)⋮НОД(2⁴⁰-1, 2³⁰-1),

2³⁰·( 2¹⁰ -1)⋮ НОД(2⁴⁰-1, 2³⁰-1). Число 2³⁰, очевидно, взаимно просто с нашими числами (оба они нечётные), следовательно, 2¹⁰ -1⋮ НОД(2⁴⁰-1, 2³⁰-1). Заметим, что НОД этих чисел тоже делится на 2¹⁰ -1, так как 2⁴⁰-1=(2²⁰-1)·(2²⁰+1)=(2¹⁰-1)·(2¹⁰+1)·(2²⁰+1)⋮(2¹⁰-1),

2³⁰-1=(2¹⁰-1)·(2²⁰+2¹⁰+1)⋮(2¹⁰-1)

Значит, НОД этих чисел и есть в точности 2¹⁰-1=1023.

Ответ: 1023.

Решение. Воспользуемся тем, что НОК(а, b) делится на НОД(а, b), и тождеством НОК(а, b)·НОД(а, b)= ab. Пусть НОД(а, b) = n, тогда НОК(а, b) = kn (n и k – натуральные числа). Тогда 5(kn – n) = kn², или k(5 – n) = 5. Это уравнение имеет единственное решение: k = 5, n = 4. Значит, НОД(а, b) = 4, НОК(а, b) = 20, ab = 80. Оба числа не меньше 4, и одно кратно 5, то есть не меньше 20. Поэтому условию удовлетворяет только пара чисел {4, 20}.

Ответ: {4, 20}.

Решение.

а) Для чисел x = 17 и y = 10 выполняется условие 3x = 8y −29, q = 170, d = 1,

б) и в) При x = 1 и y = 4 выполняется равенство 3x = 8y − 29 и q:d=4. Покажем, что никакое значение q:d˂4 не реализуется. Если x = y, то x = y= 29:5 что невозможно, поскольку числа x и y — натуральные.

Пусть для определённости x < y и x = ad, a y = bd. Тогда натуральные числа a и b взаимно просты и a < b. Получаем q=xy:d=abd, откуда q:d=ab.

Если q:d =1, то a = b, что невозможно.

Если q:d=2, то a = 1, b = 2 и, значит, y = 2x, откуда x=29:13, что невозможно.

Если q:d =3, то a = 1, b = 3 и, значит, y = 3x, откуда x= 29:21, что невозможно.

Ответ: а) да, б) нет, в)4.