Théorie des ensembles - Chapitre 7
Les ensembles de nombres ℤ, ℚ, ℝ, ℂ
Dans ce chapitre on montre que les ensembles de nombres usuels ℤ, ⅅ, ℚ, ℝ, ℂ admettent une contrepartie naturelle dans le monde des ensembles purs.
A la section 1 on construit ℤ à partir de ℕ par la méthode dite de symétrisation d'un demi-groupe. On montre que la structure ⟨ℤ, 0, 1, +,×⟩ constitue un anneau commutatif unitaire et intègre, puis on développe un minimum d'arithmétique dans l'anneau des entiers relatifs.
La section 2 est consacrée au corps des nombres rationnels. On construit ℚ comme étant le corps des fractions de l'anneau ℤ, puis on fait l'inventaire des principales propriétés de ℚ. On montre en particulier que ℚ est un corps commutatif totalement ordonné, archimédien, ne possédant pas la propriété de la borne supérieure, et dans lequel il existe des suites de Cauchy non convergentes.
La section 3 consiste en une étude approfondie du corps ℝ des nombres réels. On construit ℝ par la méthode des sections commençantes due à Dedekind, ce qui permet d'en faire un corps commutatif totalement ordonné, archimédien et possédant la propriété de la borne supérieure. On en déduit alors les principales propriétés de ℝ. En particulier ℝ est complet au sens où toute suite de Cauchy de nombres réels est convergente. On donne pour mémoire la construction alternative de ℝ par la méthode des suites de Cauchy, mise au point par Cantor en 1872.
A la section 4 on fait une rapide intrusion dans le monde des nombres complexes. On construit ℂ comme corps de rupture du polynôme (X² +1) , et on le munit d'une structure d'espace vectoriel de dimension 2 sur ℝ. On donne quelques propriétés élémentaires de ℂ, puis on énonce le théorème de d'Alembert-Gauss : ℂ est algébriquement clos, au sens où tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine dans ℂ. Au passage on dit un mot des autres ensembles de nombres classiques : corps ℍ des quaternions, algèbre 𝕆 des octonions (ou octaves de Cayley), algèbre 𝕊 des sédénions, et on explique rapidement pourquoi la plupart des objets mathématiques usuels admettent une contrepartie dans le monde des ensembles purs.